非线性项包含导数的边值问题的一个对称解

薛益民,　苏　莹,　胡　飞

(徐州工程学院 数学与物理科学学院,江苏 徐州　221111)

非线性项包含导数的边值问题的一个对称解

薛益民,苏莹,胡飞

(徐州工程学院 数学与物理科学学院,江苏 徐州221111)

摘要:文章研究了非线性项包含低阶导数的一维p-Laplacian动力方程两点边值问题对称正解的存在性,利用锥压缩和锥拉伸不动点定理,得到了边值问题一个对称正解的存在性定理,具有一定的理论意义。

关键词:边值问题;对称解;p-Laplacian算子;不动点理论

本文主要考虑非线性项包含低阶导数的一维p-Laplacian动力方程两点边值问题对称正解的存在性，即

(1)

其中，ω为非负实数；φp(u)=|u|p-2u；p>1,且1/p+1/q=1。利用锥压缩和锥拉伸不动点定理[1-2]得到了边值问题一个对称正解的存在性。作为主要结论的应用,给出一个例子验证了所得结果。

在泛函分析理论和实际问题的共同推动下,常微分边值问题的研究在20世纪迅速发展，形成了许多新的研究方向,例如奇异边值问题、无穷区间上的边值问题、脉冲边值问题、时滞边值问题和带p-Laplacian算子的边值问题等。对p-Laplacian算子微分方程的边值问题正解的研究始于20世纪90年代[3]。随着国内外著名学者对这类边值问题的关注,p-Laplacian算子微分方程的边值问题逐渐成为新的研究热点。

文献[4]研究了一维p-Laplacian微分方程边值问题，即(2)式，并且在不要求f单调的情况下,通过锥上的不动点定理得到了边值问题(2)式正解的存在性。

(2)

其中,φp(s)为p-Laplacian算子；f∈([0,∞),[0,∞))。

近年来,动力方程正解的存在性研究取得了很多成果,如文献[5-10],尤其是带p-Laplacian算子的微分方程更是成为研究的热点,如文献[11-16]。由于在研究动力方程边值问题时,会因为非线性项包含低阶导数,使得非线性项很难控制,从而增加了研究困难,所以相关的文献较少。

1相关定义和引理

为了研究的需要,作如下假设:

(1)f(t,u,u′):[0,1]×[0,∞)×(-∞,∞)→[0,∞)是连续的。对任意的u和u′,f(t,u,u′)关于t对称且不恒为零。

下面给出锥的定义和锥压缩和锥拉伸不动点定理[1-2]。

定义1设E是一个实Banach空间,P是一个非空闭凸集,P⊂E是一个锥且满足以下条件:

(1) 如果x∈P且λ≥0,那么λx∈P。

(2) 如果x∈P且-x∈P,那么x=0。

(1) ‖Ax‖≤‖x‖,∀x∈P∩∂Ω1且‖Ax‖≥‖x‖,∀x∈P∩∂Ω2。

(2) ‖Ax‖≥‖x‖,∀x∈P∩∂Ω1且‖Ax‖≤‖x‖,∀x∈P∩∂Ω2。

假设E=C1([0,1],R)，那么E是一个Banach空间,定义范数为:

定义一个锥P⊂E并满足:

其中,u是[0,1]上非负对称的凹函数。

根据对称性和凹性,可得引理2。

引理2如果u∈P,那么下列结论成立:

引理3如果u∈P,则下列结论成立:

定义算子A:P→E,

引理4A:P→P是一个全连续算子。

证明事实上,对t∈[0,1],有(Au)(t)≥0,(Au)(0)=(Au)(1)且 (Au)(0)=ω。

下面证明算子A在[0,1]上是对称的。

其中,s=1-s1,r=1-r1。所以有:

由于s=1-s1,r=1-r1,从而有:

从而有:

通过相似的方法,可以推出:

综上所述,A:P→P是一个全连续算子。

所以,求边值问题(1)式的解等价于求全连续算子A的不动点。

2主要结论

下面通过锥压缩和锥拉伸不动点定理来研究对称边值问题(1)式的对称正解的存在性。

假设u∈P,引入下列记号:

定理1如果f0=0且f∞=∞,则边值问题(1)式至少存在1个对称正解u。

证明由于f0=0,因此存在H1>0,使得：

其中，(t,u,u′)∈[0,1]×(0,H1]×[-H1,H1],ε>0，且满足:

如果u∈P且‖u‖=H1,由引理3可知:

所以有:

如果定义集合:

那么有:

(3)

其中,k>0,且满足:

(4)

(5)

对于u∈P∩∂ΩH2,由(3)～(5)式可得:

那么,根据引理1可得边值问题(1)式至少有1个对称正解，即

定理2如果f0=∞且f∞=0,则边值问题(1)式至少存在1个对称正解u。

证明由于f0=∞,因此存在H3>0,使得:

(6)

这里(t,u,u′)∈[0,1]×(0,H3]×[-H3,H3],并且m满足:

(7)

如果u∈P且‖u‖=H3,由引理3可以得到:

(8)

由(6)～(8)式可得:

若假设:

则有:

下面考虑f∞=0的情况。

假设f有界,那么对于任意常数K>0,任意的(t,u,u′)∈[0,1]×[0,∞)×(-∞,∞)有:

(9)

给定一个数H4,使得:

(10)

其中,C为一个任意的正的常数且满足(11)式。

假设ΩH4={u∈E:‖u‖≤H4}，若u∈P∩∂ΩH4,有‖u‖=H4,则由(9)式、(10)式可知:

其中,δ>0且满足:

由f∈C([0,1]×[0,∞)×(-∞,∞),[0,∞)),可知:

(11)

其中,(t,u,u′)∈[0,1]×(0,H4′]×[-H4′,H4′],C为一个任意正的常数。

那么,对于

则有:

如果u∈P∩∂ΩH4,那么‖u‖=H4,可得:

对任意情况,若取ΩH4={u∈E:‖u‖≤H4},可以得到:

从而引理1的条件(2)满足。

因此,根据引理1,边值问题(1)式至少存在1个对称正解，即

3定理应用举例

考虑下面的边值问题:

(12)

由于

且

那么,由定理2可知边值问题(12)式至少存在1个对称的正解u。

[参考文献]

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(责任编辑张镅)

Existence of symmetric solutions to boundary value problem with nonlinear term involving derivative

XUE Yi-min,SU Ying,HU Fei

(School of Mathematics and Physical Science, Xuzhou Institute of Technology, Xuzhou 221111, China)

Abstract:This paper studied the one-dimensional p-Laplacian dynamic equation with nonlinear term involving lower-order derivative for the two-point boundary value problems(BVPs). The existence of at least one positive symmetric solution was obtained by using the fixed point theorem of cone compression and expansion, which had certain theoretical significance.

Key words:boundary value problem(BVP); symmetric solution; p-Laplacian operator; fixed point theory

收稿日期：2015-09-17；修回日期：2016-03-20

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11361047;11501560;11301454);国家自然科学数学天元基金资助项目(11526177);江苏省自然科学基金资助项目(BK20151160);江苏省六大人才高峰资助项目(2013-JY-003);徐州工程学院重点资助项目(2013102)和徐州工程学院青年资助项目(XKY2013314)

作者简介：薛益民(1977-),男,安徽宿州人,徐州工程学院讲师.

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2016.05.027

中图分类号:O175

文献标识码：A

文章编号：1003-5060(2016)05-0716-05