二三混水平因子设计离散偏差新的下界

李洪毅，欧祖军，黎奇升

(1. 吉首大学师范学院，湖南 吉首　416000；2. 吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首　416000)

二三混水平因子设计离散偏差新的下界

李洪毅1, 2，欧祖军2，黎奇升2

(1. 吉首大学师范学院，湖南 吉首416000；2. 吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首416000)

摘要：离散偏差经常用来衡量部分因子设计的均匀性，偏差的准确下界可以检验给定设计的均匀程度. 基于现有的离散偏差的公式，讨论了二、 三混水平设计离散偏差的下界问题, 并利用泰勒展开的方法给出一个新的下界. 与已有的下界相比，所给出的下界在某些设计中更精确.

关键词：均匀设计; U型设计; 混水平因子设计; 离散偏差; 下界; 泰勒展式

0引言

均匀设计[1]是计算机试验和稳健试验设计中一种很重要的设计，它有助于试验点遍及整个设计空间, 并要求试验点均匀分布在试验区域中. 如何度量试验点的均匀性是一个非常重要的问题. 研究、 讨论、 介绍试验点的均匀性度量方法有很多，其中大家比较认同的方法是采用伪蒙特卡洛方法中的偏差来度量试验点的均匀性，如中心化L2-偏差，可卷L2-偏差[2-4]和离散偏差[5-6]. 在这些偏差中, 离散偏差有较好的性质. 因此，离散偏差作为均匀性测度，寻找它精确的下界十分重要. 如果一个下界能达到，我们称这个下界是紧的. 许多学者尽力去寻找这些偏差的下界，针对二、 三混水平部分因子设计, 文[6]和[7]分别给出了一个二、 三混水平设计离散偏差的下界. 本研究主要从泰勒展开的角度来探讨二、 三混水平设计离散偏差新的下界.

1预备知识

(1)

其中： a, b为常数，且a>b>0. 关于式(1)的详述参见文[6].

当d∈u(n; 2s13s2)时, 文[6]和[7]分别给出了下面两个下界:

[DD(d; a, b)]2≥LDD1(d; a, b)

(2)

[DD(d; a, b)]2≥LDD2(d; a, b)

(3)

其中: ω是n/(2i3j)的整数部分，θ=n-2i3jω, θ*=nω+θ(1+ω).

为证明所得的结论, 首先给出两个引理[8].

引理1对于任一U型设计d∈u(n; 2s13s2)，有:

引理2设l为任意整数，d∈u(n; 2s13s2)，有:

(4)

其中: ω为(n-2)s1/(2(n-1))+(n-3)s2/(3(n-1))的整数部分； p, q为满足等式p+q=n(n-1)和pω+q(ω+1)=n(n-2)s1/2+n(n-3)s2/3的整数部分.

2主要结论

基于引理1和引理2, 对任意的设计d∈u(n; 2s13s2), 可得到[DD(d; a, b)]2新的下界，见定理1.

定理1对于任意设计d∈u(n; 2s13s2)，有:

[DD(d; a, b)]2≥LDD3(d; a, b)

其中:

(5)

ω为(n-2)s1/(2(n-1))+(n-3)s2/(3(n-1))的整数部分； p, q分别为n(n-1)(ω+1)-n(n-2)s1/2-n(n-3)s2/3和n(n-2)s1/2+n(n-3)s2/3-n(n-1)ω的整数部分.

由式(4)可以得到:

因而式(5)得证, 定理1证毕.

从式(2)、 (3)和定理1，可以给出任意U型设计d∈u(n; 2s13s2)的离散偏差改进后的下界.

定理2对于任意设计d∈u(n; 2s13s2)，有:

[DD(d; a, b)]2≥LDD

其中：LDD=max{LDD1,LDD2,LDD3}.

3例子

例1考虑下面两个设计d12, 10, 5∈u(12; 21035), d6, 1, 10∈u(6; 21310)，其中: n=12和6； s1, s2分别为10, 5和1, 10. 表1分别给出了设计d12, 10, 5, d6, 1, 10的离散偏差 (其中: a=1, b=0.5)及它的下界.

表1　二三混水平设计d12, 10, 5, d6, 1, 10的设计表、 离散偏差及它的三个下界

从表1不难发现，LDD1和LDD3相等且比LDD2都大，那么在这两个设计中LDD1和LDD3比LDD2好, 因此下界取LDD1或LDD3.

例2用数值结果比较三个下界. 考虑试验次数n =2∶50, s1=1∶20, s2=1∶20和n=2∶60, s1=1∶25, s2=1∶30.

二、 三混水平设计离散偏差的三个下界比较见表2. ①考虑试验次数n从2到50，s1从1到20,s2从1到20, 共有19 960次设计，分组比较三个下界. 第一个下界和第二个下界的比较: 在19 960次设计中, LDD1>LDD2有16 380次, LDD1=LDD2有2次，LDD1LDD3有3 177次, LDD1=LDD3有13 079次, LDD1LDD3有3 218次, LDD2=LDD3有2次, LDD2LDD2有39 606次, LDD1=LDD2有 3 次，LDD1LDD3有6 489次，LDD1=LDD3有30 854次，LDD1LDD3有4 641次，LDD2=LDD3有3次，LDD2

表2　二三混水平离散偏差下界的比较

4结语

根据已有的离散偏差公式，借助两个引理，给出了二、 三混水平设计的离散偏差的一个新的下界，并用例子说明在某些设计中，所提的下界更精确.

参考文献：

[1] FANG K T, WANG Y. Number-theoretic methods in statistics[M]. London: Chapman and Hall, 1994: 52-56.

[2] HICKERNELL F J. A generalized discrepancy and quadrature error bound[J]. Mathematics of Computation, 1998, 67: 299-322.

[3] CHATTERJEE K, FANG K T, QIN H. Uniformity in factional designs with mixed levels[J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2005, 128: 593-607.

[4] CHATTERJEE K, FANG K T, QIN H. A lower bound for centeredL2-discrepancy on asymmetric factorials and its application[J]. Metrika, 2006, 63: 243-255.

[5] HICKERNELL F J, LIU M Q. Uniform designs limit aliasing[J]. Biometrika, 2002, 89: 893-904.

[6] QIN H, FANG K T. Discrete discrepancy in factorials designs[J]. Metrika, 2004, 60: 59-72.

[7] CHATTERJEE K, QIN H. Generalized discrete discrepancy and its applications in experimental designs[J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2011, 141: 951-960.

[8] 张琼慧. 二三混水平因子设计的Lee偏差和可卷L2-偏差的新的下界[D]. 武汉: 华中师范大学, 2013: 9-10.

(责任编辑： 沈 芸)

New lower bounds to discrete discrepancy in mixed two-and three-level fractional factorial designs

LI Hongyi1, 2, OU Zujun2, LI Qisheng2

(1. Normal College, Jishou University, Jishou, Hunan 416000, China; 2. College of Mathematics and Statistics, Jishou University, Jishou, Hunan 416000, China)

Abstract:The discrete discrepancy is often evaluated the uniformity of factorial designs. The accurate lower bounds of discrepancies can test uniform degree of designs. On the basis of existing formula of the discrete discrepancy, this article discusses lower bounds to discrete discrepancy in mixed two- and three- level fractional factorial designs and gives a new lower bound to the discrete discrepancy according to Taylor expansion. The new lower bound is better than existing lower bounds in certain factorials designs. Finally, two examples are given to illustrate the results.

Keywords:uniform design; U type design; mixed-level factorial design; discrete discrepancy; lower bound; Taylor expansion

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0375

文章编号：1000-2243(2016)03-0375-04

收稿日期:2013-12-29

通讯作者:欧祖军(1979-), 副教授, 主要从事试验设计及计算机试验研究, ozj9325@mail.ccnu.edu.cn

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11201177, 11561025); 湖南省教育厅优秀青年基金资助项目(14B146)

中图分类号：O212.

文献标识码：A