一类时间分数阶伪抛物方程基本解的存在性

陈剑春, 曾有栋

(福州大学数学与计算机科学学院，福建 福州　350116)

一类时间分数阶伪抛物方程基本解的存在性

陈剑春, 曾有栋

(福州大学数学与计算机科学学院，福建 福州350116)

摘要：通过Fourier变换和Laplace变换及相应的逆变换找出基本解的Fourier变换的表达式，讨论一类时间分数阶伪抛物方程基本解的存在性. 并通过该表达式证明了基本解的存在性和非负性.

关键词：伪抛物方程； Caputo导数； Laplace变换； Fourier变换

1引言

近年来，分数阶微分方程涉及到的应用学科越来越多，分数阶微分方程已经被广泛研究并应用到众多学科中，逐渐成为了一个新的研究领域. 分数阶偏微分方程可以分为三大类： 时间分数阶偏微分方程，空间分数阶偏微分方程和时间-空间分数阶偏微分方程. 分数阶偏微分方程可以用来描述一些反常的自然现象，如： 分数阶扩散方程可以用来描述具有分型结构的多孔介质中的反常慢扩散现象，而分数阶对流-扩散方程可以用来描述介质中流体的反常渗透现象. 在文献中讨论时间分数阶抛物型方程的基本解的存在性和非负性，本文将其结果推广到时间分数阶伪抛物方程中去，证明了伪抛物方程基本解的存在性和非负性.

考虑如下时间分数阶伪抛物偏微分方程：

(1)

(2)

(3)

本文主要得到如下结论：

定理1时间分数阶伪抛物偏微分方程柯西问题(1)、(2)、(3)存在着基本解，并且基本解非负.

2预备知识

1) Caputo 分数阶导数. Caputo分数阶导数定义为：

2) Fourier变换. 如果f(x)∈L1(Rd)，则f(x)的Fourier变换定义为：

其逆变换为：

3) Laplace变换. 如果定义在R+上的函数f(t)，积分

在C的某一区域内收敛，则称F(s)为函数的Laplace变换；其逆变换可以表示为：

4)Wright函数. Wright函数定义为:

证明过程见文献.

3基本解的存在性

3.1求基本解

对方程(1)、(2)作Fourier变换，可得

(4)

(5)

对方程(4)关于时间应用Laplace变换并利用初始条件(3)可得：

6)

所以

(7)

对式(7)求Fourier逆变换可得

(8)

其中:

(9)

由式(9)可知

(10)

(11)

3.2定理1证明

先讨论当α=1时的特殊情况，由式(10)可得

(12)

取

这里ε充分小，R充分大，且χ1(ξ)，χ3(ξ)是光滑截断函数，χ2(ξ)=1-χ1(ξ)-χ3(ξ). 令

所以，

(13)

显然有

(14)

所以，

令

所以，

由引理得到：

(15)

(16)

所以由式(13)～(16)可知，G(1)积分存在.

对于一般的0<α<1的情况.

Green函数Laplace-Fourier变换式(11)可以变成积分形式

(17)

其中:

(18)

作逆变换得到

(19)

这里Mα为Wright函数.

对式(16)求Laplace逆变换得：

(20)

对式(20)求Fourier逆变换得：

(21)

所以，

(22)

最后由G(1)和G2α的非负性可以保证Green函数G(α)的非负性.

参考文献：

[1] 郭柏灵. 分数阶偏微分方程及其数值解[M]. 北京: 科学出版社，2011.

[2] 黄凤辉，郭柏灵. 一类时间分数阶偏微分方程的解[J]. 应用数学和力学，2010，31(7): 781-790.

[3]GORENFLOR,LUCHKOY,MAINARDIF.Wrightfunctionsasscale-invariantsolutionsofthediffusion-waveequation[J].ComputationalandAppliedMathematics，2000，118(1): 175-191.

[4]WANGW，YANGT.Thepointwiseestimatesofsolutionsforeulerequationswithdampinginmulti-dimensions[J].JournalofDifferentialEquations，2001，173(2): 410-450.

[5]GOPALARAOVR，TINGTW.Solutionsofpseudo-heatequationsinthewholespace[J].ArchiveforRationalMechanicsandAnalysis.1972，49(1): 57-78.

(责任编辑： 蒋培玉)

The existence of fundamental solution for a class of time fractional pseudoparabolic equations

CHEN Jianchun, ZENG Youdong

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

Abstract:The fundamental solutions for a class of the time fractional pseudoparabolic partial differential equations are discussed in this paper by using Fourier transform, Laplace transform and their corresponding inverse transforms.The existence and the nonnegativity of the fundamental solution are proved in the end.

Keywords:pseudoparabolic equations; Caputo derivative; Fourier transform; Laplace transform

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0364

文章编号：1000-2243(2016)03-0364-04

收稿日期:2014-06-30

通讯作者:曾有栋(1961- ), 教授，主要从事偏微分方程研究，zengyd@fzu.edu.cn

基金项目：福建省自然科学基金资助项目(Z0511015)

中图分类号：O175.26

文献标识码：A