一类非线性抛物方程组解的爆破时间下界估计

林 津, 曾有栋

(福州大学数学与计算机科学学院，福建 福州　350116)

一类非线性抛物方程组解的爆破时间下界估计

林 津, 曾有栋

(福州大学数学与计算机科学学院，福建 福州350116)

摘要：使用构造辅助函数和微分不等式方法，得到在有界区域Ω⊂Rn(n≥3)且满足齐次Dirichlet边界条件情况下，带有梯度项的非线性抛物方程组解的爆破时间下界.

关键词：下界； 爆破时间； 抛物方程组； 梯度项

0引言

考虑一类带梯度项的非线性抛物方程组解的爆破时间下界，方程具体形式如下：

(1)

其中： Ω⊂Rn(n≥3)是边界光滑的有界区域；Δ为n维Laplace算子；为n维梯度算子； T是解的爆破时间； (1, 1)≤(q1, q2)<(p1, p2)； 这里(x1, y1)≤(x2, y2)表示x1≤x2且y1≤y2.

Payne等在文献[1]中运用微分不等式方法得到当Ω⊂R3，半线性热传导方程

(2)

解的爆破时间下界. 其中f满足适当的条件且式(2)带有Dirichlet边界条件.此后，在Ω⊂R3情况下，对各类抛物方程解的爆破时间下界进行估计，得到许多有效结论.例如Payne等在文献[2]中对

(3)

Liu等在文献[3]中对

(4)

进行研究，得到了相应解的爆破时间下界. 但是，以上文献都只是在Ω⊂R3的情形下对解的爆破时间下界进行估计，对于n≥3的情况并未给出相应结论.

Baghaei等在文献[4]中对Ω⊂Rn(n≥3)的爆破时间下界进行估计，得到满足Dirichlet边界条件时，解的爆破时间下界. 文献[5]和[6]分别得出满足一定边界条件且Ω⊂Rn(n≥3)时，式(3)和拟线性抛物方程解的爆破时间下界估计.本文根据文献[7]的方法，对式(3)的方程组形式进行讨论，得出式(1)解的爆破时间下界.

(5)

在文献[8]中, Chen等对一类拟线性抛物型方程组进行研究，得出当对应函数满足一定条件时，方程组解的全局存在性和爆破性结论，包括式(1)形式的方程组. 由于本文讨论的是解的爆破时间T的下界估计，因此只对方程组的解在有限时刻爆破的情况进行考虑.

1主要结论

定理1设(u, v)是问题(1)的非负古典解，其中(1, 1)≤(q1, q2)<(p1, p2)，Ω⊂Rn(n≥3)是带有光滑边界的区域. 定义

Θ(t)=∫Ωukdx+∫Ωvkdx

其中： k是满足如下条件的参数

(6)

如果问题(1)的解在有限时间T爆破，那么T的下界满足如下估计

(7)

其中:C1和C2是正值常数，将在证明过程中具体定义.

证明对方程(1)进行计算，根据散度定理，有

(8)

参考文献[9]可知:

(9)

其中正值常数λ是如下问题的第一特征值

(10)

结合式(8)和(9)，有

(11)

根据式(6)中k的定义，针对式(8)右端第二项，由Hölder不等式和Young不等式，有

(12)

其中i=1, 2.

将式(12)代入式(11)，有

(13)

对式(13)的第三项，运用Hölder不等式，有

(14)

(15)

(16)

再根据带ε的Young不等式，有

(17)

同理可得

(18)

这里的ε1和ε2为正值常数，具体定义之后给出. 接着运用Hölder不等式，得到

(19)

根据式(6)中k的定义，对式(17)和(18)相关项运用带ε的Young不等式，得到

(20)

其中:

ε3和ε4为正值常数，具体定义之后给出. 将式(17)～(20)代入式(13), 有

(21)

(22)

可知式(22)为

(23)

对微分不等式(23)从0到t进行积分，得到

(24)

最后，对t取极限，即t→T-，得到

(25)

定理证明完毕.

[1] PAYNE L E, SCHAEFER P W. Lower bounds for blow-up time in parabolic problems under Dirichlet conditions[J]. Math Anal Appl, 2007, 328(2):1 196-1 205.

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[3] LIU D, MU C, XIN Q. Lower bounds estimate for the blowup time of a nonlinear nonlocal porous medium equation[J]. Acta Mathematica Scientia B, 2012, 32(3): 1 206-1 212.

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[5] LI H, GAO H, HAN C Y. Lower bounds for the blowup time of solutions to a nonlinear parabolic problem[J]. Electronic Journal of Differential Equations, 2014, 20: 1-6.

[6] BAO A G, SONG X F. Bounds for the blowup time of the solutions to quasi-linear parabolic problems[J]. Z Angew Math Phys, 2014, 65(1): 115 -123.

[7] BAGHAEI K, HESAARAKI M. Blow-up phenomena for a system of semilinear parabolic equations with nonlinear boundary conditions[J]. Math Meth Appl Sci , 2015, 38(3): 527-536.

[8] CHEN S H, MACDONALD K. Global and blowup solutions for general quasilinear parabolic systems[J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications 2013, 14(1): 423-433.

[9] PAYNE L E, PHILIPPIN G A, SCHAEFER P W. Blow-up phenomena for some nonlinear para-bolic problems[J]. Nonlinear Anal, 2008, 69(10): 3 495-3 502.

[10] TALENTI G. Best constants in sobolev inequality[J]. Ann Math Pura Appl ,1976, 110(1): 353-372.

[11] GILBARG D, TRUDINGER N S. Elliptic partial differential equations of second order[M]. Berlin: Springer, 2001.

(责任编辑：蒋培玉 )

Lower bounds for the blowup time of solutions to a nonlinear parabolic system

LIN Jin，ZENG Youdong

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

Abstract:In this paper, by means of constructing an auxiliary function and the differential inequality technique, we derive a lower bound for the blow-up time of solutions to a parabolic system with a gradient nonlinearity under homogeneous Dirichlet boundary conditions in a bounded domain Ω⊂Rn for any n≥3.

Keywords:lower bounds; blow-up time; parabolic system; gradient nonlinearity

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0354

文章编号：1000-2243(2016)03-0354-05

收稿日期:2014-04-22

通讯作者:曾有栋(1961-)，教授，主要从事偏微分方程研究，zengyd@fzu.edu.cn

基金项目：福建省自然科学基金资助项目(Z0511015)

中图分类号：O175.26

文献标识码：A