应用型本科线性代数教学模式的探索与实践——MATLAB在解方程组中的应用

孙　健，王翠芳（天津中德应用技术大学基础课部，天津300350）



应用型本科线性代数教学模式的探索与实践
——MATLAB在解方程组中的应用

孙健，王翠芳
（天津中德应用技术大学基础课部，天津300350）

摘要：结合应用型本科教学的特点，尝试将MATLAB软件引入到线性代数课程方程组求解的教学中，激发学生学习热情，提高学生参与度，达到学有所用，学以致用的目的。

关键词：应用型本科；MATLAB；线性代数；方程组的解

此文为天津中德技术学院（原）2015校级教学改革与建设项目“线性代数精品课程建设的研究与实践”（ZDJY2015-20）和天津中德职业技术学院（原）2015校级项目“应用型本科院校线性代数课程建设探索”（zdkt2015-019）的研究成果。

2014年教育部颁布了关于地方本科高校转型发展的指导意见（征求意见稿），标志着中国部分本科高校向应用型本科院校转型的开始，随着示范点的不断增多，作为工程学的核心数学课程线性代数也面临着教学的调整和改革，改革的方式一般是加入更多的教学辅助工具，思路通常是将数学实验引入线性代数课程的教学过程，再结合一些数学软件的使用，让学生在学习理论知识的同时，掌握一门实用工具，进而体现出应用型本科院校本科生以“应用为驱动，学生为主导”的特点。

在众多的数学教学软件中，MATLAB以其理论简单、方便实用、易于编程等特点受到广大师生的推崇，特别是近些年来随着全国大学生数学建模的飞速发展，更是将MATLAB学习热情推向了高潮。因此将MATLAB引入线性代数的教学中已经成为应用型本高校线性代数教学课程改革的一种趋势，既能加深学生对理论知识的理解，又突出该学科与数学建模、微分方程、数值优化等课程的联系，提高学生的参与度，激发学习的热情，达到“学有所用，学以致用”的教学理念。

一、软件的相关命令

表1　常用的软件命令表

二、MATLAB软件在方程组求解中的应用

（一）MTALAB在齐次方程组求解的应用

解:在MTALAB命令窗口输入程序:

A=［1 -1 0 2 -2；1 0 1 2 0；1 1 -1 1 -1；1 2 0 0 -2］；

r=rank（A），%求系数矩阵的秩

y=null（A，1r1）%求齐次方程组的基础解系

output:r=4，y=（6 -2 0 -3 1）T

结果分析:（1）系数矩阵的秩rank（A）=4＜5（未知数的个数），说明该齐次方程组有非零解，并且基础解系中有一个列向量；（2）通过null（A，'r'）命令得到了该齐次方程组的一个基础解系。

（二）MTALAB在解非齐次方程组的应用

1.非齐次线性方程组解的存在性定理（1）:若系数矩阵的秩rank（A）≠增广矩阵的秩rank（B），则该方程组无解。

在MATLAB命令窗口运行以下命令:

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；2 1 -4 2］；%系数矩阵

b=［1；2；-1；0］；%常数列向量

B=［A b］；%增广矩阵

rank（A），rank（B）%系数矩阵的秩、增广矩阵的秩

x0=A%求该方程组的一个特解

output:rank（A）=3，rank（B）=4，Warning: Matrix is sin gular to working precision

x0=（NaN Inf Inf Inf）T。

结果分析:rank（A）≠rank（B），故该非齐次线性方程组无解。

2.非齐次线性方程组解的存在性定理（2）:若系数矩阵的秩rank（A）=增广矩阵的秩rank（B）=未知数个数，则该方程组有唯一解。

借助MATLAB软件求解，具体程序如下:

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；1 1 -2 -2］；b=［1；2；-1；0］；B=［A b］；rank（A），rank（B）

oupput:rank（A）=4，rank（B）=4

结果分析:由于rank（A）=rank（B）=4（未知数个数），因此说明该方程组有唯一解，下面分别利用两种方法对该方程组进行求解。

方法1:应用Cramer法则结合命令求解，具体程序:

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；1 1 -2 -2］；b=［1；2；-1；0］；

x1=det（［bA（:，2）（:，3）A（:，4）］/det（A），

x2=det（［A（:，1）bA（:，3）A（:，4）］）/det（A）

x3=det（［A（:，1）A（:，2）bA（:，4）］）/det（A），

x4=det（［A（:，1）A（:，2）A（:，3）b］）/det（A）

output:x1=2 x2=8 x3=3 x4=2

方法2:应用求逆矩阵命令inv（A）求解（X=inv （A）·b）。

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；1 1 -2 -2］；b=［1；2；-1；0］；X=inv（A）·b

方法3:运用左除运算符“”求解.

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；1 1 -2 -2］；b=［1；2；-1；0］；X=A

3.非齐次线性方程组解的存在性定理（3）:若系数矩阵的秩rank（A）=增广矩阵的秩rank（B）＜未知数个数，则该方程组有无穷多解。

输入MATLAB命令:

A=［2 -1 -1 1；1 2 -1 -1；5 5 -4 -2；0 5 -1 -3］；b=［1；1；4；1］；B=［A b］；rank（A），rank（B）

output:rank（A）=2，rank（B）=2

从运行结果分析可知，rank（A）=rank（B）=2＜4（未知数个数），说明该线性方程组有无穷多解，下面介绍两种方法求解该线性方程组。

方法1:调用rref命令将增广矩阵化为行最简形求解，程序如下:

A=［2 -1 -1 1；1 2 -1 -1；5 5 -4 -2；0 5 -1 -3］；b=［1；1；4；1］；B=［A b］；C=rref（B）

从运行结果可知，原方程组的等价形式为

通过求解可知该方程组的通解为

方法2:根据非齐次线性方程组解的结构，先运用左除运算符“”求出原方程组的一个特解，再调用null（A，'r'）命令求解对应的齐次方程组的基础解系，最终得到原方程组的通解，具体命令:

故，该方程组的通解为

通过将MTALAB软件引入到方程组求解的教学中，一方面可以帮助学生加深对知识的理解；另一方面，改变了传统的教学方式，让学生更多参与实际教学，调动学生学习的积极性和兴趣，让学生在学习理论知识的同时了解MTALAB软件，并能运用MTALAB解决方程组求解问题，进而达到学有所用，学以致用的目的，体现应用型本科“应用为驱动，学生为主导”的特点。

参考文献：

［1］吴赣昌.线性代数（理工类第四版）［M］.北京：中国人民大学出版社，2011.

［2］陈怀琛，龚杰明.线性代数实践及MATALB（理工类第四版）［M］.北京：中国人民大学出版社，2015.

［3］陈永胜，刘洋萍.基于MATLAB求解非齐次线性方程组［J］.赤峰学院学报（自然科学版），2009（10）：1-2.

［4］欧阳异能，杨婷. MATLAB在线性代数课程中的应用［J］.数学学习与研究，2014（10）：113-114.

编辑朱荣华

Exploration and Implementation on Teaching Mode of Linear Algebra on Application-oriented Undergraduate

SUN Jian，WANG Cui-fang
（Department of basic courses，Tianjin Sino-German University of Applied Sciences，Tianjin 300350，China）

Abstract：In this paper，we attempt to introduce MATLAB in Linear algebra of the solution of equations with the characteristics of application-oriented undergraduate in order to stimulate student' learning enthusiasm，improve student' participation，Skills to use and learn in order to practice.

Key words:application-oriented undergraduate education；MATLAB；Linear algebra；solution of equations

中图分类号：G642

文献标识码：A

文章编号：2095-8528（2016）03-019-03

收稿日期：2015-11-16

作者简介：孙健（1983），男，天津市人，讲师，硕士，研究方向为偏微分方程、数学教学；王翠芳（1981），女，天津市人，副教授，硕士，研究方向为数学建模、数学教学。