应用最大熵方法改进杨赤中负权系数

陈天伟，卢献健 ，江海东

(1.桂林理工大学 广西空间信息与测绘重点实验室，广西 桂林 541004; 2.中南大学，湖南 长沙 410083)



应用最大熵方法改进杨赤中负权系数

陈天伟1，卢献健1，江海东2

(1.桂林理工大学 广西空间信息与测绘重点实验室，广西 桂林 541004; 2.中南大学，湖南 长沙 410083)

摘要：杨赤中插值法数学模型在解算权系数时存在负权现象，文中初步分析了负权的分布规律，增设非负约束条件，利用最大熵原理分析模型系统对空间权重系数的依赖度，研究消除格网DEM插值的负权问题。通过MATLAB编程验证算法的正确性、准确性，并与二次规划法进行比较。对比显示最大熵法解得权系数大小比例与点位关系相适应，且其估值精度优于二次规划法。

关键词：杨赤中插值；负权；最大熵法；约束条件

数字高程模型(DEM)作为国家现代经济发展的基础数据，具有极其重要的意义。然而DEM的精度(尤其是空间分析更为依赖的规则格网DEM)仍有待提高。规则格网 DEM由数学插值方法得到，其中，杨赤中插值法是由我国地学专家提出的一种最优线性无偏估计的方法，基本理论是将空间域内的变量(如高程、矿石品位等) 看成是具有基本变化,同时又伴随有随机变化的复合变量。用杨赤中滤波将复合变量分离成基本变化和随机变化两部分。用分离出来的随机变化部分建立起能反映空间域变量随机性与相关性的杨赤中函数，进而实施杨赤中插值，对未知点空间属性及插值精度进行估计[1-2]。

根据条件极值原理得到杨赤中方程组

(1)

1原理

最大熵理论的数学模型为

(2)

其中：gj(j=1，2，…，m)表示各阶统计矩函数，E(gj)表示已知各阶统计矩的数学期望值，Pi为产生权系数的概率，S[p]为系统熵值。

因为空间离散数据存在离散性，估值权系数同样是离散的、随机的。假设由杨赤中法算得某待估点的估值权系数为λ1,λ2,…,λn,其中存在若干负权值，利用最大熵原理建立方程组如下：

模型系统的熵值

(3)

约束条件

(4)

其中：约束条件的第1式即0阶矩约束(或称自然矩约束)，第2式即1阶矩约束[6]。E(λ)是期望值，由于随机变量λi的原点矩等于相应的样本矩[7]，E(λ)可利用参考点与估值点距离反比例赋权，对参与估值计算的参考点权系数取加权平均值算得，令C=E(λ)。

根据最大熵的要求，构造拉格朗日函数

求偏导数得到如下方程：

解得

(5)

(6)

(7)

联立式(5)、(6)、(7)，可解得u0,u1,pi(i=1,2,…,n)的值。

2实例运行

实例：在某山地区域1∶1万地形图提取离散特征高程点60个，选取某待估点作插值运算，按极限半径搜索待估点四周的参考点，得到5个参考点。分别采用杨赤中法、最大熵法、二次规划法3种方法计算估值权系数进行对比，如表1所示。

根据杨赤中法，不考虑负权问题，即直接解算方程组(1)，计算结果见表1的第2行，可以看出，λ3=-0.078 5,λ4=-0.039 6，结果证明负权问题是存在的。

-0.334 2eλ1u1-0.308 9eλ2u1-0.469 7eλ3u1-

0.430 8eλ4u1+0.587 7eλ5u1=0.

数据带入式(5)、(6)，联立上式，利用MATLAB 软件用fzero函数求解[8]。其算法是二分法、Secant法和逆二次内插法的组合。可解算得各Pi值即修正后权系数，得到结果见表1第3行，可见最大熵法能消除空间权重系数负值现象。

利用二次规划法解算权系数，参照杨赤中方法算得的权系数，取权系数初始值为[0.060.080.0010.0010.95]，计算结果见表1第4行。

对研究区域划分12.5 m×12.5 m格网，利用上述3种方法分别进行格网点高程插值，抽样统计格网点的高程插值中误差，结果对比如表2所示。

参考点、待估点的点位分布及杨赤中法算得权值如图1所示。

表1　3种方法参考点及权值对比

表2　3种方法高程插值中误差的对比　m

图1　参考点、待估点的点位分布

3分析和结论

由表1数据可见，杨赤中法存在负权现象。二次规划方法虽然能消除负权现象，但是得到的权值分布不合理，离待估点最近的参考点权值接近0值，远离待估点的参考点权值却是最大的，此现象不符合空间数据自相关的统计规律，那么该法数值模拟得出的数学模型也是不稳健、不合理的。而最大熵法能消除空间权重系数负值现象，且得到的权值大

小比例分布与参考点位分布协调一致,不仅能客观反映出空间离散数据对其数值模拟得出的数学模型贡献程度，也使得模型系统更加稳健。再由表2数据可见, 最大熵法算得的估值精度优于另外两者，且满足国家有关DEM建模精度的规范要求[9]。

参考文献：

[1]杨善慈. 杨赤中滤波与推估法概要[M]. 长沙: 中南工业大学出版社, 1991：4-7.

[2]陈天伟.基于杨赤中法DEM对地形断裂线的处理[J]. 桂林工学院学报，2009，29(3):378-381.

[3]侯景孺,郭光裕.矿床统计预侧及地质统计学的理论和应用[M].北京：冶金工业出版社,1990.

[4]彭军还.函数模型对杨赤中估值系数的影响[J].桂林工学院学报，1996，16(2):178-180.

[5]朱庆林,郭佩芳.港口资源基于熵权的多目标决策评价模型[J].山东农业大学学报(自然科学版)，2005，36(2):259-261.

[6]姜昱汐，李兴斯.估计死亡率分布的一个最大熵模型[J].运筹与管理，2005，14(4): 7-10.

[7]程亮.最大熵原理与最小熵方法在测量数据处理中的应用[D].成都：电子科技大学，2008:14-15.

[8]陈杰.MATLAB宝典[M].北京：电子工业出版社，2007.

[9]江帆. DEM表面建模与精度评估方法研究[D].郑州：信息工程大学，2006:5-6.

[责任编辑：刘文霞]

Improvement of Yang Chizhong’ negative-weight based on method of maximum entropy

CHEN Tianwei1，LU Xianjian1, JIANG Haidong2

(1.Guilin University of Technology, Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatics, Guilin 541004， China; 2.Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract：There is negative-weight in Yang Chizhong model,so the spread regular pattern of negative-weight is researched, and nonnegative constraint is set up. The principle of maximum entropy is utilized to analyze the model system which depends on modulus of space weight.The clearing up of negative-weight is studied for the interpolation of gridding DEM. The correctness and accuracy of the method are validated with matlab’s programming, compared with the method of quadratic program. Comparison shows that the volume and scaling of maximum entropy’s weight fit to the reration of space, and its accuracy is superior to the method of quadratic program.

Key words：Yang Chizhong interpolation; negative-weight; maximum entropy; constraint condition

DOI:10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.07.007

收稿日期：2015-02-28

基金项目：国家自然科学基金资助项目(41161072)；广西自然科学基金资助项目(2011GXNSFA018001); 广西空间信息与测绘重点实验室资助课题(桂科能1207115-08)

作者简介：陈天伟(1965-)，男，副教授，硕士.

中图分类号：P208

文献标识码：A

文章编号：1006-7949(2016)07-0033-03