“画”出来的负数

◇张齐华

“画”出来的负数

◇张齐华

一 为何要让学生“画”负数？

最初选择让学生“画”负数，源自一个小小的机缘。

为了了解学生真实的学习起点，课前，我让他们从生活中收集几个负数，并试着用自己的语言描述这些负数的含义。审阅学生的作业，一个学生的独特“语言”吸引了我的目光——因为，对于负数的含义，他不是用文字“表达”出来的，而是用具体、直观的图“画”出来的。在他的笔下，楼房、地面、温度计、雪花、高山、盆地，都构成了他理解负数含义的重要载体。有意思！原来，负数的含义不仅仅可以用口头或书面语言“说”出来，画图同样可以成为一种语言表达方式，甚至它有时比其他语言更直观、更生动，或许，也更接近儿童的心智与思维本来的样子。

当然，上述小插曲，终究只是让学生“画”负数的导火索。最终作出这样的决定，还是基于如下认识。

首先，对于学生来说，负数无疑是一种抽象的存在。尽管他们在现实生活中时有接触，并且基于具体的情境，他们或许对负数的含义也有了朴素与朦胧的认知，然而，“不可思议”“不存在”“虚假”，仍然是学生乃至数学发展史上人们对于负数的真实感受。因而，如何让这些“不可思议”的数变得 “触手可及”，如何让这些“虚假”的数变得真实可信，继而成为学生可以把握、可以理解的数？画图，无疑是一种比抽象语言描述更贴近他们的表达方式。

其次，数学是由数与形共同构筑起来的。然而，由于种种原因，数与形常常分而处之、各成体系。寻找并建立它们之间的横向联系，已经成为数学学习乃至数学自身发展的重要命题。数学课程标准中常有提及的数形结合、几何直观等思想，正是这一努力的真实写照。然而，在数的认识领域，为了帮助学生更好地认识整数、小数和分数，我们常常会借助小棒、方格、柱形、方块、数线、面积等重要的直观数学模型，唯独在认识负数时，除了仅有的数线，我们很少涉及其他直观模型，这对于相对抽象、颇难理解的负数来说，学生理解起来无疑是雪上加霜。所以，恰当地引导学生结合自身对负数含义的理解，结合具体的现实背景，通过画图来理解负数的含义，恰恰成为弥补上述缺憾的重要因子。而从数形结合的角度来看，形的直观恰恰可以丰富数的抽象，形是对数的一种重要补充和完善。

二 学生能“画”出负数吗？

从教学实践来看，这种可能性是完全存在的。上述教学实践中，学生所呈现出来的丰富作品，以及作品背后所折射出的多元理解和表达，已经构成一种明证。不过，需要提及的是，不同的学生，往往会因为生活经验的不同，加之理解深浅的差异，会呈现出不同的“图画”来。以“-5℃”为例，有些学生停留于整体的感受，而不能从量的角度阐述其内涵。所以，他们更倾向以“漫天的雪花”“冻僵的事物”等具体形象来刻画他们对于“-5℃”的理解。而更多学生则会选择用 “温度计”这一最直观的模型来表达自己的认识。不同的是，同为温度计，有的学生只会标出“-5℃”的位置，而对“0℃”缺乏必要关注；有的学生虽标出“0℃”“-5℃”，但对两者的关系缺乏正确的把握；而有的学生，不仅能够标出“0℃”和“-5℃”，而且能给出“5℃”，并对三者之间的关系有一个准确、清晰的把握。事实上，不同的学生作品，折射出的恰恰是学生不同的理解层次与水平。

对于“海拔高度-155米”的话题，表现出的差异则更加显著。知其含义者，往往能够以海平面作为其参照物，体会到“-155米要低于海平面155米”；不知其含义者，则往往选择以地面作为其参照物，误以为“-155米要低于地面155米”；更有甚者，对海拔高度基本不了解，因而对此话题表现出认识上的困境。面对学生中天然存在的差异，我们需要认识到，这并不可怕，理解和表达的差异恰恰是后续学习最重要的资源，差异的存在恰恰让深度对话和主动建构成为可能。从这一角度审视课堂，我们应该期待学生的不同理解与差异认知，并基于此展开真正的数学学习与有效对话。

三 “画”出负数后怎么办？

相较于前两个问题，这一问题无疑是最重要的。“画”出负数，折射的只是学生对负数个体化的理解和思考。基于学生的“画”，我们如何引导学生在观察、分析中深度领悟负数的含义？对于不同学生的“画”的比较，是否可以引导他们在求同存异中剥离外在的表面要素，触摸负数内在的机理？更进一步，学生作品的选择与展示，是否应该有一个由粗到细、由浅入深的逻辑顺序？学生交流过程中，教师是否需要通过必要的言语与材料介入，对于学生的思维给予点拨、纠偏、放大或深化？

还是以“-5℃”为例。一方面，在呈现学生作品时，我选择了从“不完整”的作品切入，然后逐步转向“完整”的作品。这样的循序渐进，可以让更多学生在观察“不完整”作品时，融入自己的建设性意见和思考，并真正参与到作品的完善和丰富中来，让大家都有话想说、有话能说，从而让对话真正成为可能。

与此同时，教师的教不应仅仅停留在学生的作品展示与交流上，而应通过呈现自己“有预谋”的作品，让学生的学习在“柳暗花明”中发现“又一村”，让学习向着更深的方向继续挺进。比如，在认识完学生的“-2层”后，教师适时介入“没有地面的楼层”，引导学生在困惑中领悟到，“没有地面就难以判断具体的楼层”“地面变化了，楼层也就相应变化了”“问号处究竟是负几层取决于地面在哪里”，从而让学生对负数与0之间的关系有了深入的思考。同理，在分享完学生的“-5℃”后，教师呈现的 “空白温度计”，同样让学生的思考一次又一次向深处挺进，“没有0℃，就没法确定其他的温度”“有了0℃，但不知道每格代表多少摄氏度，同样没法确定其他的温度”“有了0℃和每格代表的温度，我们就可以确定或估计出其他的温度”。可以说，教师在开放型课堂中的作用，既体现在恰当的倾听、引导、点拨、放大、纠偏上，同时，恰到好处的材料介入，同样是课堂向深处挺进的重要策略。上述案例，教师的处理恰恰体现了这样一种探索。

（作者单位：江苏南京市北京东路小学）