站在运动的视角看图形，感受数学的神奇与美丽
——以“运动的圆”为例
2016-06-19刘克臣
◇刘克臣
站在运动的视角看图形，感受数学的神奇与美丽
——以“运动的圆”为例
◇刘克臣
谈话引发的调研
上四年级的儿子放学归来，他刚刚学完四边形的认识。我随意问：“四根小棒，分别长10厘米、10厘米、8厘米、8厘米，可以围成几个不同形状的四边形？”
儿子脱口而出：“1个长方形！哦，不对！2个，还有平行四边形！”
“到底几个？ ”我追问。
“肯定是3个，还有一般四边形！”
我以为他没有理解我的意思便说道：“你画下来吧。 ”
画的结果和他说的一样，之后我也画了一个和他不一样的平行四边形，还没等我说话，他就说道：“这不也是平行四边形吗？都一样！”
“形状一样吗？ ”
“一样！都是平行四边形，对边平行且相等的四边形！ ”
对话被迫中断，我也冷静了下来。为什么明明形状不一样的两个图形他却坚信一样呢？其他孩子也有类似认识吗？
带着思考，我进行了类似的调研。这次我有备而来，事先准备了一个平行四边形框架。与3个学生谈话的过程和与儿子的谈话如出一辙，尽管我用框架演示推拉，他们依然坚信：形状一样，都是平行四边形！
为什么？首先看教材，小学阶段对图形的认识主要停留于边、角的特点，虽然新课程改革后教材安排了图形与运动的内容，但是这些运动都是基于全等变换，对于图形自身的变化缺乏必要的研究和关注。
再看实施过程，我们强调了图形的分类，即抽取概念的本质特征，却忽略了个性特征，自然会影响到学生的认识，从而使他们有按名称归类的想法，并认为所有平行四边形都一样。
为了进一步弄清原因，我选择圆来进一步调研：“说一说，你眼中的圆是什么样子的？”
“圆是曲线图形。”
“圆有半径和直径，半径是直径的一半。”
“圆有无数条对称轴。”
“圆，一中同长。 ”
学生的回答准确且充满理性。但是，如果我们把眼光从教室移向窗外，可以发现生活中许多圆都是以运动的状态存在的。而这种最直接的认识和体验已经随着对圆的学习“不断深入”反而淡化了。
如何引起学生对于图形运动特点的关注？圆运动起来小学生可以研究什么呢？
一则广告带来的“意外惊喜”
一天晚上，电视直播篮球比赛，其间插播了一个矿泉水的广告。我被这个广告搞得稀里糊涂，不知其意，后来查阅资料方知，广告讲述的是笛卡儿动人的爱情故事。
52岁的笛卡儿邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀，并当上了她的数学老师。公主的数学成绩在笛卡儿的悉心指导下突飞猛进，他们每天形影不离，彼此产生了爱慕之心。
没过多久，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒，下令马上将笛卡儿处死。在克里斯汀的苦苦哀求下，国王将他驱逐出国，公主被软禁。
拿到信的克里斯汀找来纸和笔，把方程用图形画了出来。一颗心形图案出现在眼前，克里斯汀禁不住流下感动的泪水。这条曲线就是著名的“心形曲线”。
感动之余，进一步了解笛卡儿心形曲线。这条曲线实际上是两个大小相同的圆，在其中一个圆上选择一点，然后围绕另一个圆滚动一周后产生的，如图1：
图1
圆的运动多么神奇和美丽，灵感油然而生：运动可以产生轨迹，何不从轨迹的角度入手呢？
从运动轨迹角度认识圆是否可行
有时候想法是美好的，但实施起来还要考虑学生的年龄特点和知识基础。轨迹对于学生来讲是一个陌生的概念，学生能理解吗？圆中最特殊的一个点就是圆心，圆心在运动过程中的轨迹是什么样呢？还是先进行一个小范围的学生调研吧:（1）如果用笔尖插在圆形纸片的圆心，然后圆水平滚动，笔尖画出的轨迹是什么样的图形？如果绕着一个圆滚动呢？（2）如果绕着一个正方形滚动呢？
第一个问题，学生都能很快回答出是直线和圆形。对于第二个问题，10个学生中有8人很快做出了错误回答：正方形！还有2人刚开始说是正方形，但有些犹豫，没有给出最后答案。大家提出画一画，最后经过动手实践给出了基本正确的答案。
这是一个非常有意义的调研！首先，打消了我的疑虑，这个内容的学习在小学阶段是可行的，学生对轨迹的理解并没有困难和歧义；其次，暴露了学生存在的错误认识，即认为沿什么运动，轨迹就是什么形状的；再次，发现了学生的学习路径，即动手实践。
我的设计
结合学生的认知特点，经过反复推敲与实践，本节课主要设计了以下活动：
生1：詹天佑你是总工程师，应该只需在家搞搞设计，遥控指挥就行了，为什么要亲临场地呢？真是与民同苦，率先垂范呀！
1.借助生活现象认识运动轨迹（如图2）。
图2
该环节中，车轮轨迹贴近学生生活，金星和地球运动轨迹虽然看不见但客观存在。第三幅图先让学生想象轨迹的由来，学生展开想象之后，教师揭示这是一种特殊的浇灌喷头浇灌过程中的轨迹。
2.研究圆沿直线和圆形运动时圆心的轨迹。
该环节的目的是让学生利用“一中同长”来解释轨迹，突出圆的特征。
3.猜想、验证圆沿正方形外围滚动一周后圆心的轨迹（如图3）。
图3
该环节主要让学生经历猜想验证的过程，突出动手实践的意义和价值。
4.玩万花尺（如图4），感受数学好玩。
图4
该环节主要让学生通过玩万花尺感受运动的神奇和美丽。
5.拓展延伸，感受运动的神奇与美丽。
实践后的反思
这节课我在不同地区进行了实践，每一次都能引发学生浓厚的学习兴趣，引发老师们的热议。
1.实践中深入理解“一中同长”。
教学中，老师们都会引用“一中同长”来揭示圆的本质特征，但在实际教学中，学生对此的理解往往停留在一个中心，所有的半径长度都相等。如何促进学生对“一中同长”意义的理解？我有针对性地设计了以下活动。
活动1：让学生解释为什么圆沿直线运动圆心轨迹是一条直线，沿圆运动是一个圆形。对于这两个问题，由于学生有生活中车轮的经验，都能认识到在运动过程中圆心距地面的距离保持不变。
活动2：圆沿正方形外围运动圆心轨迹是圆角矩形（如图5）。由于经验的影响很多学生开始都会认为，沿正方形外围滚动圆心轨迹是个正方形。经过动手实验之后，发现当滚动到4个顶点的时候轨迹变成了曲线。为什么是曲线呢？学生解释时需要用到“一中同长”的特点。
图5
活动3：玩万花尺，画出圆。利用万花尺怎样就能画出圆呢？学生不难想到选择圆心那个小孔。为什么？有了前面的学习经验，学生都能利用“一中同长”的特点进行解释。
2.挑战中激发问题意识。
每个人内心都有挑战自我的欲望，在这节课中，我设计了具有挑战性的问题。如在解决了圆沿正方形滚动的问题后，我话锋一转，提出“圆绕正方形滚动，圆心的轨迹真的不能是正方形吗”这一极具挑战性的问题，因为学生刚刚验证过不是正方形。
如何启发学生变换角度思考问题呢？我启发学生把圆放到正方形里面，想象圆心轨迹是什么，并动手实验。
更有意义的是，这样的挑战性问题能激发学生的问题意识，如学生提出：如果沿等边三角形旋转，圆心轨迹是什么样？再如，圆沿一个图形内侧滚动，圆心轨迹就是什么样呢？……
3.运动中感受数学的神奇和美丽。
玩万花尺是最为放松和高兴的环节，在不断尝试中，学生从开始玩得有些笨拙、毫无目的，到发现可以画出神奇的图案，被自己笔下美丽的作品所折服，不断发出惊叹。下面（如图6）是上课过程中学生的作品：
图6
运动的神奇和美丽还体现在数学文化和自然现象中。课尾，我向学生介绍了笛卡儿的心形曲线故事，并回顾课堂引入关于金星和地球的运动轨迹，演示了地球和金星8年的相对位置运动图，如图7所示：
图7
课堂中的每一个人都被震撼了！
从静到动看图形，学生看到了变化，看到了运动的神奇和美丽，看到了不一样的数学！我看到了惊喜，看到了认识图形教学的新视角！我相信，图形运动，神奇一定会延续……
（作者单位：北京市西城区教育研修学院）
