关于『真分数、假分数』教学设计的谈话——与张奠宙教授的对

◇李勇

关于『真分数、假分数』教学设计的谈话
——与张奠宙教授的对

◇李勇

我是一名刚参加工作的年轻教师，有机会认识了华东师范大学数学系的张奠宙教授。最近我听了一节关于“真分数、假分数”的课，收获颇多，也有一些思考。记得张教授说过，他很愿意了解一线课堂的真实情况，于是我就向他请教。他高兴地接待了我。以下是我们的谈话记录。

李勇（以下简称李）：真分数和假分数，是苏教版实验教材五年级下册第四单元中的一节课。学生已经学过了分数的意义，对分数的定义很熟悉。因此，如果只是按照教材中的内容，在黑板上抄一下真分数、假分数的定义，然后要求学生按定义指认哪些是真分数、哪些是假分数，学生似乎也能掌握本节课的知识。

张奠宙（以下简称张）：是啊。我看了网上推荐的一些教案，大多数也是这么做的。其实，五年级的学生，已经能够进行比较深入的思考。现在强调让学生主动提出问题，我想在这节课上，学生一定在想：分数还有假的吗？为什么要分真和假呢？分真分数和假分数有什么好处呢？我想我们的教学，除了认识真分数和假分数，还需要引导学生思考并解决这些自然会产生的问题。

李：我听的那节课，就是企图打破“套用定义，反复练习”的教学定式。授课教师设计了四个活动。

活动一：区分真和假。要求学生比较儿子的年龄与母亲的年龄，由学生探究出：儿子的年龄比母亲的年龄小（真），儿子的年龄大于或等于母亲的年龄（假）。

活动三：对上述填写好的分数进行分类。探究：是否可以分为分子小于分母的和分子等于或大于分母的两类？

活动四：在数轴上画出这些分数。

张：我觉得这样的设计很有新意，其目的是引导学生理解真分数和假分数的意义。让我们来讨论这几个活动。

这里的活动一，能够针对“真和假”进行讨论，有创意。但是这个问题不大自然，容易横生枝节。例如，很多人会想到：儿子的年龄不仅比母亲的年龄小，而且会小几十岁呢，等等。不如简单地说：“（在平面内）三角形内角和等于180度”是真命题，“三角形内角和为380度”是假命题。

李：实际教学过程中，学生感觉儿子、母亲的年龄问题有点儿唐突，学生在回答时不太自然。

张：我觉得，这节课是谈真分数和假分数，一开始从真命题和假命题入手未尝不可。讨论的重点是区分两种“真假”：第一种，假警察一定不是警察，假人民币一定不是人民币，等等；第二种，假命题还是命题，假话还是一句话，等等。

李：明白了，我们讨论的假分数，仍然是分数。假分数也有分子、分母、分数线，和真分数一样，只不过分子不小于分母而已。学生一开始听到假分数这个词，会作“假警察不是警察”那样的联想，于是会带着“假分数不是分数”这样的猜想走进课堂。所以用“命题有真和假，假命题也是命题”作为情境来引入新课，是不错的选择。然后告诉学生，我们今天学习的假分数也是一种分数。随后进入活动二。

张：活动二是本课的关键。这一设计很到位，它让学生思考：自己理解的分数概念是否仅限于真分数、假分数什么时候会出现、其意义何在等一系列问题。这里，我想请问你两个问题。首先，如果让学生举一个分数的例子，学生是不是会毫无例外地举出真分数的例子？其次，在本节课之前，教材中是否出现过假分数？

李：这两个问题与学情分析相关。我相信，让学生举一个分数的实际例子，大家百分之百会举真分数。在“分数的意义”单元中，出现的都是分子n小于分母m的情境。直到这节课之前，教材中从来没有出现过分子大于分母的分数。所以，我觉得有必要在本节课增加一个贴近学生生活的实例，以使学生感悟真分数和假分数。

张：好。按照你说的“学情”学习真分数和假分数，还得回到分数定义中去寻求答案。事实上，分数定义是“将一个整体平均分为m份，表示这样的一份或n份的数，叫作分数”。这里对份数n没有限制，n份能够比m份多，n可以是任何自然数。但是，学生头脑里的分数却只是分子小于分母那样的分数。这是学情和教学内容之间存在的矛盾。

李：我从来没有在教材和课堂上见过这样的讨论，我觉得教材中回避了这个问题。确实，真分数和假分数都符合分数的定义，但学生的头脑里却都是真分数。正因为如此，有些教案中，要求以学生探究把5张饼或9张饼分给唐僧师徒四人为例，说明假分数、的存在，并让学生体会到在分饼过程中，每人先用整数除法分到1张饼或2张饼，之后再用分数定义增加张饼。因此，当分数的分子大于分母时，它的数值可能会是某个整数再加上那样的真分数。这有点儿把带分数提前了。

张：我觉得出现分母为4的假分数，为接下来带分数的学习作一个铺垫也未尝不可。这个例子既说明了假分数的存在性，又给出了假分数可以化为整数+真分数的一个例子。这样做，使得学生对分数的原始定义有了更深刻的了解。至于带分数这个名词，以后再说。

李：这就是说，分数的定义中对n没有限制，表明假分数同样符合分数的定义，所以假分数也是一种分数。但在实际应用中，一般只讨论真分数，即n

张：对呀。我们为什么学习分数？说到底，分数主要是为了处理小于1而大于0的量。也就是说，学习分数的重点在于研究真分数的意义。下一步学了带分数，分数的结构就更加清楚了。建议教材认真处理分数定义中n＞m的情形。

1.分数的定义中n可以是任意自然数。

2.实际教学中使用的往往是n

3.所有分数依n

4.一些假分数可以化为整数+真分数,另一些假分数可以直接化为整数。

张：对。在具体教学设计中，应该尽可能体现这四个问题。

李：那么关于活动三，您有何评论？

张：先听听你的看法。

李：当时在课堂上学生不知道分类的目的。我在巡视中看到学生的分类五花八门。有些预习过教材的学生，知道要分为真分数和假分数。所以最后还是由学生说出了真分数和假分数这样的分类结果。

张：我觉得活动三的问题，开放度大了一些。真分数和假分数是西方学者在历史上形成的。中国古代没有真分数和假分数的区分。这种历史上给某对象命名的历史事实，没有必要让学生去发现，直接阅读教材就好了。

李：通过上面的讨论，我们进一步理解了分数的定义中份数n可以大于等于分割数m,并且知道假分数也是分数，只是一些假分数可以化为一个整数和一个真分数之和,而另一些假分数可以直接化为一个整数。因此假分数的“假”，就假在这个“整数”上。

张：事实上，真真假假是各式各样的。假分数的“假”，就是因整数而产生的。假分数也是分数，和真分数的差别只在一个整数。

李：这些建议，大家恐怕不容易接受。许多老师会觉得这堂课的主要任务是让学生学会判别分数的真和假，至于为什么要分真和假，小学阶段不必涉及。分数的定义只是形式定义而已，小学和初中阶段对形式定义的教学，重在研究其相关的属性。

张：仁者见仁，智者见智，大家讨论就是了。不过，现在教学设计要落实三维目标，不能只有知识与技能，还要有过程与方法。五年级学生学习真分数和假分数，应该理解它们的发生、发展过程，况且在学习上也不见得会有多难。

李：还有活动四呢？

张：这个活动，教材和许多教学设计中都有，大家的做法差不多。我没有意见可以发表。只是有一点儿遗憾：分数的定义中分数是没有大小的。我曾建议在其定义中“表示一份或几份”后面加上“大小”二字，却一直未被采纳。希望有一天，分数回到有大小的数系里来。

李：听了您的一些建议，我想找机会试试。以前有人说对于数学大家玩的是数学概念，今天真是见识了。但是，是不是有时太求全，反而会忽略事物最重要的部分？我感觉小学生还是应在具体的实践活动中多感悟、多体会。

张：谢谢你的理解。我是大学教师，可以参加讨论，但是实践经验很少。

李：真分数、假分数内容背后渗透的思想、方法，非常有研究价值。感谢张教授从与众不同的角度所作的剖析。

（作者单位：江苏阜宁县阜师附属小学）

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