关于亚循环2-群的对合交换图

2016-06-12谭延庆沈如林

湖北民族大学学报(自然科学版) 2016年1期

谭延庆,沈如林

(湖北民族学院数学系，湖北恩施 445000)

关于亚循环2-群的对合交换图

谭延庆,沈如林

(湖北民族学院数学系，湖北恩施 445000)

摘要：对合交换图是以群中二阶元共轭类为顶点，两顶点有边当且仅当它们交换的图.分类了亚循环2-群的对合交换图结构

关键词：对合交换图;k-正则图;亚循环2-群

设G是群，且X是G的子集，X上的交换图ΓG(X)是指以X中元为顶点，互异点x,y∈X有一条边当且仅当xy=yx.交换图被很多学者所研究，最早出现在Brauer和Fowler的文献[1]中，他们应用交换图证明了在同构意义下对于一个给定的2阶中心化子的同构型，只有有限个非交换单群包含该同构型.当X取成G{1}时，交换图ΓG(X)对Margulis-Platanov猜想的证明起到重要的作用[2].如果取X为G的一个二阶共轭类，称交换图ΓG(X)为对合交换图.Fischer最早对对合交换图进行了研究[3-4]，考虑了3-轮换群生成的群，研究了一类任意两个顶点之积的阶至多为3的对合交换图的群的结构.Bates，Bundy，Hart 和Rowley关于对合交换图的文章使对合交换图越来越备受关注.文献[5-8]中分别全面研究了G为散在单群，G为有限Coxeter群，G为对称群和G为特殊线性群时对合交换图ΓG(X)的结构.本文分类了亚循环2-群的对合交换图的结构.所谓亚循环2-群即循环2-群对循环2-群的扩张.称图ΓG(X)为正则图，如果ΓG(X)中每个顶点所连的边数都相同.如果正则图中每个顶点相连的边数为k，则称为k-正则图.特别，0-正则图称孤立点图.以下的群都为有限群.

定理1亚循环2-群的对合交换图为一个点的孤立图或1-正则图.

1一些引理

如下给出一些引理：

引理1 设G为偶阶群，则G的对合交换图是一个正则图.

证明设X为G的一个二阶共轭类，并设ΓG(X)为对合交换图.假设a∈X,g∈G.如下考虑顶点a和ag的边数.设与a相连的顶点为ag1,ag2,…,agr. 若a与agi相连，即aagi=agia⟺[a,agi]=1⟺[a,agi]g=[ag,agig]=1⟺agagig=agigag，则a与agi相连推出ag与agig相连.现在从与a相连的边构造一个到与ag相连的边的一个映射σ：(a,agi)→(ag,agig)，则由如上知道σ为一个单映射.下证σ是一个满映射.如果还有ah与ag相连，即[ag,ah]=1⟺[ag,ahg-1g]=[a,ahg-1]g=1有[a,ahg-1]=1这样存在某个gi使得hg-1=gi，故h=gig，这样σ是满射，即而为双射，从而ΓG(X)为正则图.

引理2 若2-群中的对合交换图为孤立点图，则它只能为一个孤立点的图.

证明设X为2群G的一个2阶共轭类，ΓG(X)为孤立点图，并设a为ΓG(X)的顶点.现在让〈a〉共轭作用在X上，由于ΓG(X)为孤立点图，则X的个数必然为奇数.另一方面，由于X为G的一个共轭类，则X的个数必然为2的幂，这样X的个数必然为1，即ΓG(X)只有一个孤立点.

引理3设r≠±1且r2m≡1(mod 2n)，其中m≥1,n≥3，则当m=1时，(r-1)≡0(mod 2)或(r-1)≡0(mod 2n-1);m>1时，r2m-1-1≡0(mod 2n-1).

证明m=1时，r2m-1≡0(mod 2n)⟹(r-1)(r+1)≡0(mod 2n)⟹(r-1)/2·(r+1)/2≡0(mod 2n)，(r-1)/2和(r+1)/2为连续数一奇一偶，若(r+1)/2为奇数，则(r-1)≡0(mod 2n-1)；若(r+1)/2为偶数，则(r-1)≡0(mod 2).m>1时,r2m-1≡0(mod 2n)⟹(r2m-1-1)(r2m-1+1)≡0(mod 2n),(r2m-1+1)/2恒为奇数，故r2m-1-1≡0(mod 2n-1).

2定理1的证明

由文献[9]可知亚循环2-群的定义关系式为：,其中r2m≡1(mod2n),t(r-1)≡0(mod2n),m≥1,n≥1,t≥0,r≠0.在后面的证明过程中，情形7考虑的是亚循环2-群在n=1时其对合交换图的结构；情形1,2,4,5考虑的是当t任意，r=±1，n≥2时对合交换图的结构；情形3,6考虑的是t任意，r≠±1，在这种情况下，由于r2m≡1(mod22)这样的r值不存在，所以这种情况下只考虑n≥3.

情形1t=0,r=-1.此时有a2n=1,b2m=1,ab=a-1.由b-1ab=a-1得：ab=ba-1,ba=a-1b.因为o(b2m-1)=2,a2n-1为2阶中心元，此时亚循环2-群存在二阶元共轭类.

(b2m-1)={b2m-1,(b2m-1)a，(b2m-1)a2，…,(b2m-1)a2m-1.下面分两种情况来讨论：

1)m=1.此时亚循环2-群为二面体群.b2=1,b ={b,ba,ba2,…,ba2n-1-1}.由ba=a-3a-1b=a-4b;ba3=a-1a-4ba=a-5a-1b=a-6b;…;bai=a-2ib,0≤i≤2n-1-1.

假设bai=baj(0≤i,j≤2n-1-1),即a-2i=a-2j⟺a2(i-j)=1.则2(i-j)≡0(mod2n),也即(i-j)≡0(mod2n-1).由i,j的取值范围可知，不存在这样的i,j使得上式成立，故可知：b ={b,ba,ba2,…,ba2n-1-1}中2n-1个元互异，类长为2n-1.

再设bbai=baib,由bai=a-2ib,ba=a-1b可得，ba-2i=a-2ib,也即：a4i=1(0≤i≤2n-1-1),故4i≡0(mod2n)⟺i≡0(mod2n-2).i可取2n-2，结合引理1得到：共轭类b 中元每两个相连.

再来看亚循环2-群所有二阶元有哪些.m=1，群中所有元的形式只有ai,aib(0≤i≤2n-1)两种.a2n-1为中心二阶元，只需找aib形式的二阶元.而aibaib=aia-ib2=1，也即所有aib(0≤i≤2n-1)形式的元都为二阶元，共2n个.接下来再看一下这2n个二阶元所属共轭类情况.aib(0≤i≤2n-1)的共轭形式只有(aib)akb,(aib)ak两种.

若(aib)=a-1b,ab=ba-1化简可得到a2k-i-j=1,故有2k≡i+j(mod2n).根据i,j,k的范围，显然，当i,j的奇偶性不同时，它们就不可能共轭.i,j奇偶性相同时，总可以找到k=(i+j)/2使得：(aib)akb=ajb.

若(aib)ak=ajb(0≤i,j,k≤2n-1),即a-kaibak=ajb,化简得a2k+j-i=1,即2k≡i-j(mod2n).只需考虑i>j的情况，同样是当i,j奇偶性相同时，总可以找到相应的k=(i-j)/2,使得(aib)ak=ajb.综上所述，二面体群所有二阶元被分成两个共轭类，即奇数形式和偶数形式的共轭类，长度都为2n-1.且当i,j奇偶性相同时，由aibajb=ajbaib⟺a2(i-j)=1⟺i≡j(mod2n-1).再结合引理1得到两个共轭类中元素都是每两个都相连.且有bai=ai(2n-1-2)b,此即共轭类b ={aib}(0≤i≤2n-1),i为偶数.

这样得出，当t=0,r=-1,m=1时，亚循环2-群二阶元分为两个共轭类，且每个共轭类长度都为2n-1,其中的元都是每两个相连，为1-正则图.

2)m≥2.此时b2m=1,(b2m-1)={(b2m-1),(b2m-1)a,(b2m-1)a2,…，(b2m-1)a2n-1-1}.

由ba=a-1b,ab=ba-1得：(b2m-1)ai=a-ib2m-1ai=a-ib2m-1-1a-ib=a-ib2m-1-2aib2=…=a-iaib2m-1=b2m-1.因此共轭类(b2m-1)={b2m-1}就一个二阶元.

考虑所有的二阶元，aibjaibj=aibj-1baibj=aibj-2ba-ibj+1=aibj-2aibj+2,若j为奇数，则aibjaibj=b2j不可能等于1；若j为偶数，aibjaibj=a2ib2j=1⟺i≡0(mod2n-1),j≡0(mod2m-1)(0≤i≤2n-1,0≤j≤2m-1).i,j可各自取2n-1,2m-1即总共3个二阶元.故当t=0,r=-1,m≥2时，亚循环2-群二阶元分为3个共轭类，且每个共轭类长度都为1，都为孤立点图.