林分直径分布的Weibull参数估计系统研制

谢鹏芳，谢 敏，裴志涛，黄旭光，黄家荣，周俊朝

林分直径分布是指在林分内各种大小直径林 木按径阶的分配状态，也称为林分直径结构。无论在理论上还是在实际上，林分直径结构是最重要、最基本的林分结构，不仅因为林分直径便于测定，更是因为林分内各种大小直径的树木的分配状态，将直接影响树木的树高、干形、材积、材种及树冠等因子的变化［1］。在理论上它为许多森林经营技术及测树制表技术提供了依据。多数研究认为，林分直径分布拟合模型中3参数Weibull分布模型最优［2－5］，对函数参数估计的方法多为传统的数学估计方法，多数研究认为，最大似然估计(Maximum Likelihood estimation，MLE) 求的参数最优［6－7］。但最大似然估计要用迭代法求解，过程复杂。此外，由于3参数Weibull分布不能满足通常的正则条件，导致有时最大似然估计不存在或有多个解［8］。为解决这些问题，研究基于Weibull分布3参数的人工神经网络估计模型［9－10］，建立Weibull参数估计系统(Estimation System of Weibull Parameters，WPES)，以寻求一种操作简单、快捷的方法估计Weibull分布参数。

1 材料与方法

1.1 材料来源

材料来源于贵州省安顺、龙里和开阳，考虑到林龄和地理位置对林分直径分布的影响，分别选择不同龄级(14，22和30 a)、不同密度级、不同地区的标准地调查数据来进行研究。贵州省气候为温凉湿润向半湿润过渡类型，年均气温为12～14℃，1月均温为2～4℃。≥10℃的积温约为4 000℃，生长期约为250 d，年降水量为1 000～1 200 mm，适于马尾松林分的生长。3块标准地的林分基本情况如表1。

表1 标准地数据表Table 1 The data table of sample plot

1.2 Weibull分布函数

Weibull分布函数的概率密度函数［4］:

式中:x为林木胸高直径;a为位置参数，这里为林分直径最小径阶下限值≥0;b为尺度参数;c为形状参数。

1.3 Weibull参数估计系统(WPES)

根据西泽正久相关表中120组c，Γ1，CVx的数值，用人工神经网络方法，以CVx作为输入向量，以c，Γ1作为输出向量，研究提出了由图1、式(3)～式(5)和表2组成的Weibull分布参数估计模型［9］。图1为估计模型的神经网络图形表达，其网络结构为1∶6∶2，即1个输入节，6个隐层神经元，2个输出神经元。

其数学模型为:

累积分布函数:

图1 神经网络模型(1∶6∶2)Fig.1 Neural network model(1∶6∶2)

式中:pure lin()和log sig()为MATLAB的神经元线性传递函数和对数S形传递函数;为从隐含层i节点至输出层节点的连接权;hi为隐含层i节点的输出值;为输出层节点的阈值;为从输入层节点至隐含层i节点的连接权;为隐含层i节点的阈值。

表2 神经网络模型输入层的权值和阈值Table 2 Weights and thresholds of neural network model

根据上述神经网络模型的输出和模拟对象的分布特征数，计算Weibull分布3参数:

1)用模拟对象的最小径阶中值(MD)减去径阶距(△D)的一半作为位置参数(a):

2)用式(4)计算位置尺度参数Γ 1 后，用Γ 1 除林分算术平均直径(Dm)与位置参数(a)的差作为

3)用式(3)计算形状参数c。

按上述模型或方法，可进行Weibull参数估计系统构建［12］，通过MATLAB的GUI界面编辑器增加控件，构建系统界面如图2。根据系统可以直接输入各经阶中值和株数得到Weibull 3个参数。

图2 Weibull参数预估系统界面Fig.2 The interface of estimation system for Weibull parameters

1.4 最大似然法(MLE)

本研究选择多数研究者认为最优的最大似然法(MLE)作对比分析。根据前人的研究［6－8］，对于林分直径的Weibull分布，计算形状参数(c)的公式为:

位置参数(a)算法同式(8)。

式中:k为径阶个数;xi为第i阶中值;fi为第i径

阶内林木株数;n为总株数。

1.5 拟合效果检验

用精度检验和χ2检验2种方法检验上述系统和方法估计的林分直径分布效果。精度算式:

式中:Pc为拟合精度;N为各径阶实测株数;N1为各径阶拟合株数;sum()和abs()为MATLAB的求和函数和绝对值函数。其中N1为:

式中:f(xi)为由式(1)求出的第i径阶中值为xi的概率密度函数值;△D为径阶距。

卡方检验(χ2)是关于理论频数与实际频数间吻合程度的一个检验方法［11］。卡方值算式:

2 结果与分析

2.1 Weibull参数估计结果

利用构建的Weibull参数估计系统(WPES)可以直接计算Weibull参数值，如图3所示为安顺标准地的Weibull 3参数的计算结果。同理计算龙里、开阳标准地的结果，并与最大似然估计(MLE)的计算结果对照列如表3(WPES系统计算取了小数点后5位，为了与MLE方法统一起来，2种方法都取小数点后4位)。

图3 安顺Weibull 3参数计算结果Fig.3 Weibull three parameter calculation results of Anshun

2.2 直径分布拟合结果

将表3中2种方法(WPES，MLE)估计的参数代入Weibull分布的概率密度函数式(1)和累积分布函数式(2)，计算各标准地、各径阶的概率密度函数值和累积分布函数值，进而计算各径阶的拟合株数。计算结果与实测结果对照见表4。

由表4可知，用 WPES和 MLE估计并按式(12)计算的安顺、龙里、开阳3块标准地直径分布的拟合精度分别为84%、85%、85%和78%、64%、67%。显然，用WPES估计Weibull参数值的拟合精度比MLE的高，要高出5% ～20%。用WPES估计的各径阶拟合株数与实测株数相对吻合，而用MLE估计的相差较大。由表4还可以看出，在林龄为14 a的安顺标准地中，MLE的拟合精度相对比在林龄较大的龙里、开阳2块标准地上的拟合精度高，精度值从78%降到64%，相差10%以上;而WPES在不同年龄段的拟合都保持约85%的较高精度，相差仅1%。这说明，由于系统中人工神经网络的作用，WPES不仅具有较高的估计效果，而且具有较强的适应性。

表3 Weibull 3参数估计值Table 3 Estimated value of the three－parameter Weibull

表4 直径分布实测与拟合结果Table 4 Actual and Fitting Results for Diameter Distribution n

2.3 卡方检验

基于表4的径阶分布数据，用式(14)计算2种方法的χ2值，连同相关参数一并对照列如表5。

由表5可知，取α=0.05，安顺、龙里和开阳的自由度分别为6、8和9，WPES估计的检验χ2值分别为7.17、8.73 和2.40，而 MLE 估计的检验 χ2值分别为52.62、45.31 和 7.96。对照结果显示，安顺和龙里WPES检验值是MLE的1/7和1/6，这2块标准地用MLE方法估计的渐进显著性＜0.05，拒绝原假设，说明不符合原来的分布;开阳标准地的检验值都相对较小，2种方法的渐进显著性都＞0.05，说明2种方法得出的结果都是符合原分布的;研究表明，WPES有较强的适应性。

表5 χ2检验Table 5 Chi-square test

3 结论

以贵州不同林场、不同林龄的3块马尾松标准地林分直径分布数据为验证材料，基于Weibull参数的BP神经网络估计模型，用MATLAB的GUI界面编辑了一个3参数Weibull估计系统(WPES)。并与最大似然估计(MLE)作对比分析，对WPES的估计准确度、适应性等进行了验证研究，得出如下结论:

(1)WPES的拟合精度较高，比 MLE高出5%～20%。

(2)WPES对不同时间和空间的适应性较强，其变动幅度是MLE的1/10。

(3)WPES界面简单明了，操作方便，使用简捷，便于推广应用。

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