实现离散Hilbert变换所需阶数的分析

陈 喆, 王 睿, 李小兵, 郭成安, 马晓冬

(1. 大连理工大学 信息与通信工程学院， 辽宁 大连 116023) (2 . 富士通元器件科技发展有限公司， 辽宁 大连 116023)

实现离散Hilbert变换所需阶数的分析

陈 喆1, 王 睿1, 李小兵1, 郭成安1, 马晓冬2

(1. 大连理工大学 信息与通信工程学院， 辽宁 大连 116023) (2 . 富士通元器件科技发展有限公司， 辽宁 大连 116023)

连续信号与离散信号的Hilbert变换之间存在偏差，不利于学生理解。本文从理论上分析了信号的最高频率、采样频率、想要达到的信噪比与离散Hilbert变换项数之间的关系，给出了离散Hilbert变换的特性及适用于实验的项数确定依据。数值仿真表明了相关结论的正确性。

Hilbert变换；数字信号处理

0 引言

Hilbert变换是信号分析与处理中的有力工具，在信号处理、时频分析等领域得到了广泛应用[1, 2]。在随机信号分析类课程中，Hilbert变换也是主要讲授内容之一。为了强化学生对Hilbert变换的理解，特别是其在窄带信号处理中的作用，常常辅之以实验或数值计算结果作为演示。目前，Hilbert变换的具体实现多基于离散时间数据，用Matlab编程来实现。

连续时间信号x(t)的Hilbert变换定义为

(1)

其中，‘*’表示卷积。理论上，Hilbert变换可等效为x(t)通过一单位冲激响应为h(t)=1/πt的滤波器的输出，这里h(t)的Fourier变换为

(2)

上述连续时间信号的Hilbert变换物理概念清晰，在国内外相关教材中都有较为详细的介绍[1, 2]。与上述H(jΩ)类似，离散Hilbert变换等效滤波器h(n)的离散时间Fourier变换定义为[3, 4]

(3)

h(n)的单位脉冲响应为

(4)

(5)

与h(t)类似，h(n)也是非因果滤波器，两者皆在物理上不可实现，因此在实际应用时，只能截取其有限项，且需适当右移，以满足n<0，h(n) = 0的因果性要求。显然，这种近似会带来如下问题：截取多少项可以满足要求？尽管理论上是截取的项数越多越好，但从计算量、存储量等角度考虑，则是越少越好。因此，很有必要探讨Hilbert变换实现时保留其项数的依据。本文将研究该问题，并得到一些对Hilbert变换实现有指导意义的结论。

1 数字Hilbert变换的误差

不失一般性，设中心频率为f0的窄带随机连续信号为

x(t)=A(t)cos[2πf0t+φ(t)]

(6)

其中，A(t)和φ(t)分别是窄带随机信号的包络和相位，它们相对f0均是慢变随机过程，t(-∞, +∞)。令Ac(t)=A(t)cosφ(t)，As(t)=A(t)sinφ(t)，根据文献[1, 2]，Ac(t)、As(t)相对于f0也是慢变的随机过程，且具有相同的自相关函数和功率谱密度。x(t)可写为

x(t) =Ac(t) cos2πf0t-As(t)sin2πf0t

(7)

(8)

(9)

(10)

在Hilbert变换实现时，式(4)中的n只能取有限项，如2M个非0项(此时，h(n)总长度为4M-1)，于是有

(11)

(12)

式(12)中使用了Ac(t)和As(t)在t=n/fs处的一阶Taylor展开，即

(13)

(14)

(15)

其中

2 等效滤波器系数数目的确定

(16)

由式(15)和(16)可得如下结论：

(1) 当f0、fs和M满足(pfs)/(4f0)=M时，g(n) = 0，此时可获得Hilbert变换的精确结果，其中p为正整数。

(2) 当完全不满足(1)中条件时，g(n)主要由fH/fs决定。为了达到一定SNR，fH/fs需小于某个值。特别是，当信号的fH给定时，有效改善变换精度的手段是提高采样频率。这隐含着要以计算复杂度为代价。

(3) 幅度补偿系数k对SNR也有轻微影响：由于k不是M的单调函数，因此增大M也可能导致SNR略微下降，但这个问题在M较大时，可以忽略不计。

(4) 考虑一种极端情况，当fH=0时，即输入信号为单频正弦波时，有g(n)=0，此时M可取最小值M=1，即h(n)为一典型二阶差分器(对应于连续信号的微分器)。正弦波的Hilbert变换为余弦波；而差分器(微分器)恰能把正弦波变换为余弦波，这也符合通常的认知。

(5) 考虑另一种极端情况，当M→∞时，总可以找到一个正整数p，使得f0、fs、M满足(pfs)/(4f0) →M时，g(n)→0，即SNR足够大。这也符合M越大，Hilbert变换精度越高的常识。

为了进一步说明根据给定的SNR，如何综合确定M的问题，本文给出一些数值仿真实验结果。

实验(1)：实验参数取f0=1 MHz，fs= 8 MHz，fH= 5 kHz。当M= 2, 4, 6, …为偶数时，SNR→∞，这说明得到了Hilbert变换的精确结果，与结论(1)相符。

实验(2)：实验参数取f0= 1 MHz，fs= 2.048 MHz或8.912 MHz，fH= 0.5 kHz或5 kHz。表1为不同fH和fs下能够达到的最大SNR。由表1可见，当fH一定时，提高fs能够增加信噪比；当fs一定时，fH越大信噪比越低，与结论(2)相符。

实验(3)：实验参数取f0= 1 MHz，fs= 8.912

MHz，fH= 0.5 kHz。当M= 1, 2, …, 5变化时，SNR值如表2所示。SNR值随着M值的递增不是单调增大，而是略有起伏，这与结论(3)相符。

表1 不同fH和fs下能够达到的最大SNR

表2 不同M的对应的SNR

实验(4)：实验参数取f0=1 MHz，fs= 2.048 MHz，fH= 0.5 kHz或0.8 kHz。当已知fH和fs时，要达到某一信噪比所需的M值如表3所示。由表3可见，当想要达到的SNR在fH和fs能达的最大SNR范围内时，M取一定值时就能达到要求的SNR。因此，可据此选择适当的M来降低Hilbert变换的计算复杂度。

表3 不同SNR要求下的M值

3 结语

本文研究了Hilbert变换在离散时间域实现时需要注意的一些问题，重点研究了对信号进行离散Hilbert变换时其截断后应保留的项数问题。这些结论可为Hilbert变换的数值仿真实现提供依据，对工程实现也有一定参考价值。

[1] 赵淑清，郑薇. 随机信号分析[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社，1999

[2] 罗鹏飞，张文明. 随机信号分析与处理(第二版)[M]. 北京：清华大学出版社，2012

[3] 胡广书. 数字信号处理--理论、算法与实现(第二版)[M]. 北京：清华大学出版社，2003

[4] A.V. Oppenheim著，刘树棠译. 信号与系统(第二版)[M]. 西安: 西安交通大学出版社，1998

Analysis of Required Order for Discrete Hilbert Transform

CHEN Zhe1, WANG Rui1, LI Xiao-bing1, GUO Cheng-an1, MA Xiao-dong2

(1SchoolofInformationandCommunicationEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116023,China) (2Fujitsucomponentstechnologydevelopmentco.,LTD,Dalian116023,China)

Some deviations exist between the continuous Hilbert transform and its discrete version, which makes students confused. This paper analysis the relation among signal maximum frequency, sample frequency, desired signal to noise ratio and the number of terms in discrete Hilbert transform theoretically. Besides, some properties of discrete Hilbert transform and the criterion for determining the number of terms are given. The numerical simulations indicate the correctness of relevant conclusions.

Hilbert transform; digital signal processing

2015-08-18;

2016-11-09

陈 喆(1975-)，男，副教授，主要从事信号处理方面的教学和科研工作，E-mail: zhechen@dlut.edu.cn

TN911.7

A

1008-0686(2016)03-0025-03