注重解题策略方能有效化解排列组合问题

张子祺

（吉林省实验中学高一.十二班 吉林长春 130012）



注重解题策略方能有效化解排列组合问题

张子祺

（吉林省实验中学高一.十二班 吉林长春 130012）

摘 要：排列组合以极概率问题是高中数学的一个重点，也是难点，对于高中学习来说，这类数学问题如果能在平时多加练习并认真掌握其要领，可以在高考中应付自如，从而在考试中得心应手。本人作为一名高中生，平时特别喜欢在数学方面进行钻研，对于高中数学中的排列组合问题进行分析研究，以便能给高中学生在学习排列组合与概率问题等方面提供借鉴。

关键词：相互独立事件 排列组合问题 解题策略 组合数计算 互斥事件 排列 组合 概率

排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。

一、排列组合综合问题的一般解题规律

1.使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

2.排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。

3.按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

4.在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。

总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。

二、排列组合问题的具体解题方法

抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。

1.特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。

例题：用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？

3.相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法。例如：有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本.若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？

解题分析：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有A55种排法；又3本数学书有A33种排法，2本外语书有A22种排法；根据分步计数原理共有排法A55*A33*A22=1440（种）。因此，运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题.

4.不相邻问题用“插空法”。不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开.解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。例如：用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有多少个？

5.顺序固定用“除法”。对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。例如：6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？

解题分析：不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A6

6÷A33=120种。（或A63种）。

对于这种解题方法，我们还可以从另外一个问题中得到解答方法，比如另外一个例题：4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。此题的解法是：先在7个位置中任取4个给男生，有A74种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有A74种排法。（也可以是A77÷A33种）。

应该指出的是，以上介绍的各种方法是解决一般排列组合问题常用方法，并非绝对的。数学是一门非常灵活的课程，同一问题有时会有多种解法，这时，要认真思考和分析，灵活选择最佳方法，进而能够对数学产生兴趣。