在数学建模中常微分方程的应用分析

刘巧云

【摘要】随着我国经济发展水平的不断提高，素质教育改革在深入开展，数学是素质教育阶段一项非常重要的课程，是素质教育阶段必须研修的课程，数学教学当中不仅要使学生掌握到最基本的数学知识，更要培养学生独立学习的能力增强对学习数学的兴趣.本文对数学建模中常用微分方程应用进行了探讨，使数学模型更具有基础性、直观性与应用性.

【关键词】数学建模；常微分方程；素质教育

数学建模是一个相对复杂的过程，其目的就是分析、描述模型内的关系、规律等，进而构建出一个科学、准确的数学关系，并能够转化成相应的数学问题，使用数学系统和数学知识进行解答，对现实问题作出解释.为此，应用微分方程对实际问题进行抽象，并在此基础上构建数学模型，能够演示数学模型，虽然过程较为复杂，但是在结果上则非常简明，使解释过程更为直观、明朗.

一、在人口普查中的应用

数学建模可以根据划分标准的不同，演变出不同的分法，例如，可以按照已经建立的分类法划分，将数学模型划分为：初级模型、规划模型、微分方程、统计概论方程等.实际生活中，使用微分方程理論可以构造，出动态模型，对事物演化的时间进行预测，进而掌握到最有效的方法.

随着人口的不断增长，人口普查成为一项繁重的工作，即使能源不断增多，但能源储量却在不断减少.为此，世界上大部分国家都在努力控制人口增长，中国实施的计划生育也有30多年的历史.而人口迁移、自然灾害等都会影响到人口预测模型的变量构建，而在模型构建上还必须考虑这些变量，无形中为工作人员增加了工作负担.为此，数学建模中使用微分方程能够建立起因子模型，并对其进行不断完善，进而得到最准确的模型.

建模前要先进行数据收集，比如，按照某国100年婴儿出生量制作统计表；首先，进行数据分析：通过分析将人口的出生率设为不变量，并建立起马尔萨斯人口模型.再针对问题提出假设：在自然条件不变的情况下，人口相对稳定，比例设为r.最后将问题转化为数学问题，构建出人口与时间的变化关系式.

解 将时间设为t，人口设为N（t），N（t）会随着时间的变化而变化，按照上面的分析作出假设，在t到了（t+Δt）时刻时，人口的增长量为：

N（t+Δt）—N（t）=rN（t）Δt.

假设t=t0，则N（t）=N0可以将方程设为：

N（t0）=N0，Dndr=rN.

对这个模型进行求解，最终可以获得人口随时间变化的指数关系.

第三步就是将模型应用到实际问题中，并对其进行检验.使用马尔萨斯模型能够对人口作出准确预测，得出了人口增长率、未来几年人口数量等.

二、在工程领域中的应用

悬链线问题是工程开展当中常会遇到的问题.具体见下图所示，该位置具有一个均匀的电缆线，电缆线质地柔软，韧性较强，将其悬挂在A、B两点位置处，利用重力作用使其一直保持平衡状态，进而构建出曲线方程.

图1 悬链线

这一问题最初是由科学家提出来的，分别是James Bernoulli（詹姆斯·贝努利）与Galileo（伽利略），两位科学家对这一问题以抛物线形式进行了猜想，但是得出的结论不准确.但最终依然被James Bernoulli求解了.悬链线被广泛应用在了工程领域.

将曲线方程设为y=y（x），p表示悬链线单位长度所受的重力，取曲线上的任意一点P（x，y）位置处，该位置处的张力由T（x）表示，得出了该处切点与x轴的夹角值，进而得出：

T（x）cos[θ（x）]，T（x）sin[θ（x）].

表示的是P点的水平张力与垂直张力.

再依据以上内容设P在点x处的增量，增量用dx表示，则Q点横坐标表示为x+dx，随着悬链线的重力不断下降，水平位置处会有：

T（x）cos[θ（x）]=T（x=dx）cos[θ（x+dx）].

进而，悬链处于平衡状态时，张力在任意一点处相等，可以将悬链线上的某水平张力常数表示为：

T（x）cos[θ（x）]=H，H∈R.

通过将上述这些公式带入求解，能够最终得到的悬链线方程为：

y=HpchpH（x-x0）+h-Hp.

将悬链线使用在高压架空线路中是非常常见的，对两座相邻的、距离相等的铁塔进行拟设，垂直度设为a，结合上述方程，则最终的坐标表示如下：

图2 高空架设

等到假设出来的悬链线与某顶点相互垂直，则可以将其看成是一段抛物线，为此，工程中能够将这一抛物线当成悬链线使用，其中，p表示的是该线段上的重力值.H值可以表示为：

y=HpchpHx-Hp.

三、电工学方面的应用

一个电路与机械装置包含了扩音器与永磁体，其模型就是一个常微分方程.具体如下图3所示

图3 扩音器模型

一个变电源电压E（t）能够驱动音圈转换器，进而将系数转换为T，再通过转换器推动扬声器的振动膜振动.音圈是组成能换器的重要部件，其实质是在永磁场内运行.一旦出现过多的变化电流经过音圈，音圈将在电流与磁力作用下运行.可以用f表示的是扬声器与转换器间的相互作用力，而R表示电阻器，L为转换的感应系数.c表示的是阻尼系数，k表示弹簧的弹性系数，T与变量间的相互关系式为：

e=Tdx[]dt，f=-Ti.

E表示是音圈两端存在的电压值，x表示音圈位移，运用牛顿二定律与回路电压定律进行计算，可以得出的微分方程为：

md2x[]dt2+cdx[]dt+kx=Ti，

Tdx[]dt+Ldi[]dt+Ri=E（t），

可以看出，通过设C这个任意常数量，能够对音圈位移x进一步求解，其与转换器电流i可以表示为：

使用常微分方程解决了电工学中各种复杂的问题，能够使参数提取、关系构建更为直观、有效，对基础模型建立有重要意义.

结束语

本文主要对数学建模中常微分方程在不同领域中的应用，通过上述这些应用实例表现了建模中微积方程的作用，在不同领域中提供了建模支持.

【参考文献】

[1]朱婧，陈学慧，曹丽梅等.数学建模思想融入常微分方程课程教学的研究[J].高师理科学刊，2015（1）：50-54.

[2]周霞，水莉莉，张德然等.常微分方程教学中数学建模与应用能力的培养[J].科教导刊，2015（7）：105-106.

[3]闫永芳.关于在数学建模思想中融入二阶常微分方程的探讨[J].南昌教育学院学报，2012，27（2）：122-123.