高考试题中“新型题”的类型及解法

2016-05-30郑杰

数学学习与研究 2016年3期

关键词：直角坐标考试题交点

郑杰

“创新是一个民族的灵魂”，创新是高考命题的生命力所在.高考数学命题的创新有利于进一步完善试题的选拔功能，促进中学数学素质教育的实施.因此，在近些年的高考试卷中，相继出现了一些内容立意新、情景设置新、设问方式新或题型结构新的新型题.

二、图表分析型

根据题目中所给图形（图像）、数表等信息，联系所学的定义、定理、公式的几何（物理）意义，采用排除法，直接推演法得出正确结论.

例2 （2010江西卷12题）如图，一个正五角星薄片

（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记

t时刻五角星露出水面部分面积为S（t）（S（0）=0）.

则导函数y=S′（t）的图像大致为

解由导数定义可知，函数f（x）在点x=x0处的导数值就是f（x）在点x=x0处的瞬时变化率.当第一个角逐渐露出水面时，S（t）在逐渐增大，且增长速度越来越快，故其瞬时变化率S′（t）也应逐渐增大，当第二部分开始露出水面时，此时的S（t）应突然增大，然后的增长速度越来越慢，但仍为增函数，故其瞬时变化率S′（t）也应突然增大，再逐渐变小，但S′（t）>0（故可排除B）；当五角星全部露出水面后，S（t）不在变化，故其导数值S′（t）最终应等于0.故正确选项为A.

三、学科综合型

新课程标准要求加强数学的整体意识，注重数学各个不同分支间的联系，注重数学与其他学科的联系，注重数学与生产生活的联系.高考试题中经常会在数学各个不同分支之间，不同学科之间相关节点的地方命题.

例3 （2014江西卷10题）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12.一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i-1次到第i次反射点之间的距离记为Li（i=2，3，4），L1=AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是

解根据反射的对称性，质点是在过A，E，A1作长方体的截面AA1NM如图所示.

设点A关于平面A1B1C1D1的对称点为A′，易知它在z轴上，且A′A1=AA1=12，连接A′E并延长交平面ABCD于点E1，因为A1E=5，所以AE1=10，且E1到AB，AD的距离分别为6，8，即E1（8，6，0），而它在线段AM上，从而知L1=AE=EE1=L2；事实上，只需要在AA1NM内，过E1作AE的平行线交MN于点E2，再过E2作E1E的平行线交A1N于点E3，可知EE1>E2E3=L4>E1E2=L3，故L1=L2>L4>L3，故选C.

四、条件（结论）开放型

新课程标准要求注重学生思维能力的培养，养成求实、说理、质疑、批判的思维习惯.高考试题中出现开放型（条件或结论不唯一）试题.

例4 （2007福建卷）中学数学中存在许多关系，如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“～ ”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意a∈A，都有a～a；

（2）对称性：对于a，b∈A，若a～b，则有b～a；

（3）传递性：对于a，b，c∈A若a～b，b～c，则a～c；

则称“～”是集合A的一个等价关系.例如“数的相等”是等价关系，而“直线平行”不是等价关系.（自反性不成立）

（理）请你再列出三个等价关系.

答案：“平面图形的相似”； “平面图形的全等”； “集合的相等”； “向量的相等”；“函数的相等”；“角的相等”；“平面图形的面积的相等”；“几何体的体积的相等”.

五、多选填空型

由于学生对定义、定理等理解上的失误，对一些问题判断不准，高考试题中出现多选填空题.

例6 （2013四川卷15题）设p1，p2，…，pn为平面α内的个点.在平面α内的所有点中，若点p到点p1，p2，…，pn的距离之和最小，则称点p为点p1，p2，…，pn的一个“中位点”.例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点.现有下列命题：