利用导数研究函数的单调性的拓展教学

宋淮南

【摘要】高中数学新课程标准提出：“倡导积极的、主动的探究式学习，培养学生的创新精神和实践能力.”数学探究是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程.在这个过程中学生始终处于主动探索、主动思考、主动建构的地位.如果教师事先能在进行精心设计，积极在教学中开展拓展性教学，并在学生探究过程中起画龙点睛的引导，就能使教师指导作用与学生主体作用充分结合.这样学生不需要大量、重复地做同一样类型的题目，也能掌握相关的知识与方法，从而实现真正的减负，不仅提高了学习的效率，更有利于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，提高他们发现、提出、解决数学问题的能力以及发展他们的创新意识和实践能力.

【关键词】导数；函数；数学教学

《导数及其应用》是高中数学的重要内容，利用導数研究函数的单调性是其重要部分，在高考中占有重要的地位，结合我的实践探索，谈谈利用导数研究函数的单调性中进行拓展教学的一些体会.

例 求函数f（x）=x3+x2-x的单调区间.

这是一道难度不大的习题，先由学生自行解答，然后给出规范答案.

接下来由学生总结出求函数的单调区间的方法：

先确定函数y=f（x）的定义域及f′（x）；接着有两种做法.

法一 ①解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

②解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.

法二 ①令f′（x）=0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；

②把函数f（x）的间断点（即f（x）的无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间；

③确定f′（x）在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.

注意单调区间之间用“，”连接，不能用“∪”连接.

拓展1 求函数f（x）=x3-ax2-a2x的单调区间.

师问：此时系数含有参数怎么办？

生答：先求函数的导数，再根据导数的根的情况进行分析，分a=0，a<0，a>0三种情况讨论.

规律方法 ①要对参数a进行分类讨论；②要确定分类的标准，做到不重不漏.

拓展2 已知函数f（x）=x3-ax2-a2x的递减区间恰为-1，13，求实数a的值.

师问：单调区间恰为-1，13应如何理解？

生1答：函数在区间-1，13没有递增或常数函数的情况.

生2答：函数在区间-1，13之外没有递减部分.

生3答：可结合拓展1求解或利用-1和13是f′（x）=0的根求解.

通过师生的共同探讨，得到两种解答.

规律方法 关键是理解y=f（x）的递减区间恰好为-1，13的含义.

拓展3 若函数f（x）=x3+ax2-a2在区间13，+∞上是增函数，求实数a的取值范围.

师问：函数在区间13，+∞上是增函数，是不是单调递增区间就是13，+∞呢？

生答：不一定，在区间13，+∞外还有可能存在递增的情况.

师问：怎样求实数a的取值范围？

生答：因为函数在区间13，+∞上是增函数，所以y=f′（x）在13，+∞都是大于或等于零，只要不出现有恒为零即可.

师问：为什么？

生答：如f（x）=x3，f′（x）=3x2≥0当且仅当x=0时取“=”，而f（x）=x3在R上是增函数.

通过本例的研究得到已知函数单调性，求参数范围的两个方法：

（1）利用集合间的包含关系处理：y=f（x）在 （a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集.

（2）转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′（x）≥0；若函数单调递减，则f′（x）≤0”来求解，注意式子中的等号不能省略，否则漏解.注意可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是：对x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任何子区间内都不恒为零.

拓展4 已知函数f（x）=x3-ax2+2x在13，2上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.

师问：如何理解函数在区间13，2上存在单调递减区间？

生答：函数在区间13，2有递减的情况，也就是存在x0∈13，2使得f′（x）<0.

著名的教育家波利亚曾说：“好问题跟某种蘑菇有些像，它们都成堆生长，找到一个以后，应该在周围再找找，很可能附近就有好几个.”由此在数学教学中，引导学生从一个问题出发，通过逆向思维求其逆命题；通过设常量为变量拓展问题；通过引入参量推广问题；通过弱化或强化条件与结论，进行横向的拓宽和纵向的深入等方法去探索问题的变化，则能使学生发现问题的本质，去揭示其中的数学思想.这样，我们通过“问题”情境的创设，营造良好的课堂心理氛围，诱发学生的学习欲望使其更好发挥探究的主动性，从而体验数学知识的拓展变化，这样既有利于学生学习知识，又有利于培养学生发散思维、建构知识的能力和创新能力.