巧用质因数
2016-05-30李向东
李向东
分解质因数是研究整数的一个重要方法,在实际问题中有着广泛的应用,且这类问题的灵活性大,趣味性强,探究这类问题的解法,对培养和提高解题能力具有重要的作用。
【例1】一袋糖有96颗,小明每次拿出的颗数相同,(不一次拿出,也不一粒一粒地拿出,)最后一次正好拿完。小明共有几种拿法?
【分析与解】小明每次拿的颗数与拿的次数的乘积等于96,将96分解质因数,根据96=1×2×2×2×2×2×3可知,两个自然数的积为96有6种情况:
1×(2×2×2×2×2×3)=1×96,
(1×2)(2×2×2×2)=2×48,
(1×2×2)(2×2×2×3)=4×24,
(1×2×2×2)(2×2×3)=8×12,
(1×2×2×2×2)(2×3)=16×6,
(1×2×2×2×2×2)×3=32×3。
由于“不一次拿出,也不一粒一粒地拿出”,所以第一种情况应该去掉。其余每个算式都可以看作两种拿法。如:4?4可以看作每次拿4颗,拿24次,也可以看作每次拿24颗,拿4次。因此,一共有10种拿法。
【例2】五(1)班同学植树210棵,每人植树的棵树相同。若从其他班调来5人,那么每人就少植1棵树。五(1)班同学有多少人?
【分析与解】因为树是210棵,210=学生人数×每人植树的棵树,所以学生人数是210的一个因数。我们可以把210分解成质因数:210=2×3×5×7。根据“210=学生人数×每人植树的棵树”应将210写成两个自然数相乘的形式。我们对210的因数进行适当组合可得到以下几种不同的情况:
210=2×(3×5×7)=2×105
210=(2×3)×(5×7)=6×35
210=(2×3×5)×7=30×7
210=3×(2×5×7)=3×70
210=5×(2×3×7)=5×42
210=(5×2)×(3××)=10×21
210=(7×2)(3×5)=14×15
210=1×210
再由题意“若从其他班调来5人,那么每人就少植1棵树”可知,变化后一个因数比原来大5,另一个因数比原来小1。根据这个条件,我们可以从以上几种形式中找出符合题意的两种:210=6×35,210=30×7。其中比另一个因数小5的数就是学生的人数,即五(1)班同学有30人。
【练一练】
1.四个连续自然数之积是360,其中最大的数是几?
2.四年级某学生参加数学竞赛,他获得的名次、他的年龄、他得的分数的乘积是2910。这个学生得第几名?成绩是多少分?