高考数学三角函数复习专题分析

傅殿松

[摘要]三角函数是中学数学的重要内容之一，高考除了考查三角函数的图像、性质和三角变换等知识外，还常常关注三角函数知识与函数、平面向量、数列、解析几何等知识的整合与交汇，教师就三角函数与不等式、解析几何、函数方程、平面向量相结合的题进行研究，以期抛砖引玉.

[关键词]高考数学 三角函数 复习

[中图分类号] G633.6

[文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2016）02-0049

三角函数是一种重要的初等函数，与其他代数、几何知识有着密切的联系，成为研究其他知识的重要工具.纵观近几年的高考题，尽管三角函数试题总体难度不大，但问题呈现的方式、问题的背景和问题的结构形式在不断变化，三角函数与相关知识交汇的深度、广度和难度也在不断变化，成为近几年高考考查的热点.这就提醒我们在高考复习中应给予三角函数足够的重视.下面介绍几个三角函数与其他知识点相结合的例题，希望给广大考生提供一些参考.

一、三角函数与不等式的交汇

三角函数与不等式相结合，主要考查基本不等式和均值不等式，也考查三角函数的图像和性质.利用三角函数的有界性构造不等式，是求参数取值范围的重要方法.

【例l】设两个向量a=（λ+2，λ?-cos?a）和b=（m，m/2+sina），其中λ，m，a为实数，若a=2b，则λ/m的取值范围是（）.

A.r 6，1]B.[4，8]C.（-∞，1]D.[-1，6]

解析：由a=2b，得λ?-cos?a=2（m/2+sina），∴λ?m=COS?a+2sina=2-（sina-1）?，所以-2≤λ?-m≤2.

又λ=2m-2，则2≤4（m-1）?-m≤2，解得：1/4≤m≤2.

二、三角函数与解析几何的交汇

在解析几何中，点的坐标为（x，y），有两个变量；若用参数方程，则只有一个变量.对于有定值和最值时.参数法显然比较简单.在研究曲线的有关性质中，有时引入一个适当的角，建立三角函数关系，然后利用三角函数知识这一有力的T具，可使复杂的问题简单化.

【例2】椭网原点，连接OP、OQ，若kop=-1/4.求证：OP?+ OQ?等于定值.

证明：设x=4cosθ，y=2sinθ，P（4cosθ1，2sinθ1）.Q（4cosθ2，2sinθ2）.

整理得，cosθ1 COSθ2+sinθ1sinθ2一0，即cos（θ1-θ2）=0.

∴OP2+OQ?=8+12（COS?θ1+ COS?θ2）=20+6（cos2θ1+CoS2θ2）=20+12cos（θl+θ2）cOs（θl-θ2）=20.

三、三角函数与函数方程的交汇

一些函数方程含有三角函数.解决这类问题主要是通过三角函数的性质、公式、恒等变换等手段进行化简，然后通过代换等方法，将其转化为非三角函数问题求解.

【例3】 已知关于x、的方程2cOs?（π+x）-slrx+a=o有实数解，求实数a的取值范围.

解析：由2cOs?（π+x）-sinx+a=0，得

2cos?x-sinx+a=0，即2sin?x+sinx-2-a=0.

令sirU=t（-l≤t≤1），则方程2t?+t -2-a=0在区间[-l，1]上有解.

令、f（t）=2t?+t-2a，则二次函数y=f（t）的图像的对称轴为直线t=-1/4

4‘

所以方程f（t）=o在区间[-l，1]上有解等价于在区间[-1/4，1]上有唯一解.

四、三角函数与平面向量的交汇

平面向量与三角函数的交汇是高考重点考查的知识点之一.在三角函数，三角恒等变换、解三角形等问题中，均有平面向量的应用，主要体现在通过向量的基本运算.将向量问题转化为三角函数知识的运算.

故△ABC是直角三角形或等腰三角形.

高考命题中对三角函数的考查属于中档题型.学生在复习中把握好三角函数难度的同时，应注意三角函数与其他知识点的交汇.将三角函数与其他知识密切联系起来是解决三角函数问题的关键.