根轨迹的中心点研究

董宇

摘要：根轨迹的中心点性质确定了根轨迹中心点的坐标。本文给出了根轨迹中心点性质的新证明方法。首先，证明了当被控对象的传递函数为严真时，根轨迹存在渐近线；然后，计算了根轨迹渐近线的倾斜角；最后，通过建立渐近线的矢量方程，确定了根轨迹的中心点坐标。与传统的证明方法相比，本文提出的证明方法具有明确的几何意义。

关键词：根轨迹；中心点；矢量方程

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）13-0211-03

一、引言

根轨迹法是一种基本的控制系统分析设计方法。为了能够手工绘制根轨迹图，需要从理论上推测根轨迹在某些位置处的形状。Evans提出了基本的根轨迹性质。[1]此外，许多学者对根轨迹的性质进行了深入的研究。文献[2]计算了根轨迹分离点处的出射角和入射角。文献[3]计算了当原点作为根轨迹的多重零点和多重极点时，相应的入射角和出射角。文献[4]计算了实数零点和实数极点处根轨迹的入射角和出射角。文献[5]计算了当传递函数为假有理分式时，根轨迹渐近线的倾斜角。文献[6]计算了多重起始点和终止点处根轨迹的出射角和入射角。而文献[7]使用矢量分析方法，对上述根轨迹性质进行了重新计算，得到了更为简洁的计算结果。文献[8]给出了根轨迹存在分离点的代数形式的充分必要条件。

教科书中阐述的关于根轨迹中心点的性质用于确定根轨迹中心点的坐标。但教科书中对根轨迹中心点性质的证明是形式化的，未能对其中的机理进行深入的分析。本文提出了一种关于根轨迹中心点性质的新证明方法，该证明方法具有明确的几何意义。首先，证明了当被控对象传递函数为严真时，根轨迹在无穷远点处存在渐近线；然后计算了渐近线的倾斜角；最后，通过建立渐近线的矢量方程，确定了根轨迹中心点的坐标。