时钟表盘中角度问题探究

唐娟娟

一、圆形时钟钟面

采取实物教具——圆形石英钟

和同学们一起探讨表盘中指针的夹角，通过演示可以明确知道，表盘给我们一个360°的周角形象。让学生观察时钟表面结构可知：时针12小时转表盘一圈，即旋转了360°，所以时针1小时旋转360°÷12=30°，就很容易得到时针1分钟转30°÷60=0.5°；而分针60分钟转一圈，所以分针1分钟转360°÷60=6°。我们经过探究，得出结论，形成概念。

（1）表盘中共有12个数字，每两个相邻的数字中心线间的夹角是30°。

（2）表盘中分针每分钟转6°，而时针每分钟转0.5°。

（3）在同一时间内，分针是时针所转度数的12倍。

利用这些关系就可以解决钟表上的有关问题。

【例1】七点三十分时，钟表上时针与分针的夹角是多少度？

分析：七点三十分时，分针指在6上，而时针指在7～8中间的位置，两指针之间相距1.5个30°。所以，夹角度数为30°×1.5=45°。

二、探究数学模型

通过实物演示和学生一起建立了以下数学模型：

1.整点时间指针度数的计算

把钟表指针拨向1点、3点、5点、6点时，学生能够利用先前得到的结论很容易地算出用小时数乘以30°；这时，把指针指向7点，结果有许多学生把度数计算成210°，提示大家：时针与分针所夹的角是指小于180°的角，那么应怎样计算呢？学生通过观察讨论认为用360°去减，算另外一侧的角。由此得出数学模型：

令时间为a小时，则两指针的夹角=a×30°或360°-a×30°。

2.非整点时间指针度数的计算

把钟表指针拨到如图，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？

我们很容易地看到此时的夹角是分针与12点中心线的夹角减去时针与12点中心线夹角的差。那么如何计算这两个夹角的度数呢？

分析：经过探究发现：分针12点中心线的夹角为45×6°，而时针与12点中心线夹角为1×30°加上45×0.5°，这样两度数相减就得到所求的结果；

把钟表指针拨到4点15分，让学生观察时针与分针的夹角，我们能一眼看出此时的夹角度数是时针与12点中心线夹角度数减去分针与12点中心线的夹角度数，让他们计算。提出假设：如果还用时针与12点中心线夹角度数减去分针与12点中心线的夹角度数行不行？

“想一想，你们计算的对吗？”经过学生反复完善自己的探究结果，得出数学模型：令时间为a小时b分钟，则两指针的夹角=a×30°+b×0.5°-b×6°或360°-a×30°+b×0.5°-b×6°。

三、借助行程问题，化繁为简

1.表盘上的相遇问题

导练：已知环形跑道长300米，甲乙两人同时从起跑线同向起跑，两人的速度分别为3米/秒和1米/秒，问他们何时首次相遇？

分析：此题是一道环形跑道同向而行的问题，出发时二人在同一起跑线上，到首次相遇时，虽然无法确定两者各跑多少，但能知道兩人相遇时跑快者比跑慢者多跑一圈，由此得到等量关系：甲跑的路程-乙跑的路程=跑道的周长，指导学生进行解答。然后出示例题：

【例1】现在是12点，时针与分针是重叠的，问时针至少转过多大角度时，两针再次重叠？

分析：将表盘看做环形跑道，分针与时针看做跑步快慢的两个人，同时同向从12点处出发，再相遇时就相当于分针比时针多走了一圈。这样有准备题的启发，学生很快得到了等量关系：

分针转过的度数-时针转过的度数=360°

解：设时针至少转过x°时针再次重叠。因为时针每分钟走0.5°，所以，时针走x°用（ ）分，则分针在相同时间内转了〔6（ ）〕°，可列方程：6（ ）-x=360°

2.表盘上的追及问题

导练：甲乙两人在环形跑道上进行短跑训练，乙在甲前100米的位置上，已知甲、乙两人的速度分别为3米/秒和1米/秒，起跑后，问甲用多长时间追上乙？

分析：这是一道追及问题，两人在相同时间内，甲跑的路程比乙跑的路程多100米，因此可以得到路程相等的等量关系：甲跑的路程-乙跑的路程=100。

【例2】某人晚上6点多钟外出散步，此时分针与时针的夹角110°，回家时发现时间还未到7点，且时针与分针的夹角仍为110°，请你推算出此人外出了多长时间？

分析：分针相当于准备题中的甲，时针相当于准备题中的乙，外出前指针相差110°，就相当于两人在跑道上相距100米，回家时两指针还差110°，可想象为准备题中的甲在某一时刻超出乙100米的距离，这样两题中的类似地方是在相同的时间内分针多走的角度相当于准备题中的甲比乙多走的路程。由此可得到两指针角度相等的等量关系：110°+时针转过的度数+110°=分针转过的度数。

可列方程：设此人外出了x分钟。6x-0.5x=110×2 x=40答：此人外出了40分钟。

编辑 谢尾合