自然数幂和的一种递推方法

杨胜硕

【摘要】 研究自然数幂和的目的不仅仅是要找到公式，更应该深入了解数字间的巧妙联系，能够找到公式的实质，利用排列组合的知识固然简便，但是理解起来相对抽象. 笔者探讨这个问题的时候，利用s～s的表达式，通过建立行列式发现了一个求s的递推关系式. 即把若干次幂的自然数按照数列的形式排列，每一行出现的数字呈等差排列，成倒三角的形式，仔细观察可以发现自然数p次幂和与自然数p - 1次幂的关系. 通过对假设的证明，得到一个相对简洁的递推公式，并用该公式推导出了p ≤ 9次幂的自然数幂和.

【关键词】 伯努利数；自然数幂和递推公式

自然数幂和问题，由瑞士数学家伯努利最先提出，故也称伯努利幂之和问题，笔者探讨这个问题的时候，将若干次幂的自然数按照数列的形式排列，每一行出现的数字呈等差排列，即成倒三角的形式，然后通过观察，可以发现自然数p次幂和与自然数p - 1次幂的关系. 从而得到一个相对简洁的递推公式，现介绍如下：

设s = ip，将s展开按如下方式排列：

如此一个倒三角排列，可以对其进行简单的研究，发现其中的一些规律. 易知第二行空缺的数列为1p-1，第三行空缺的数列为1p-1 2p-1，第四行空缺的数列为1p-1 2p-1 3p-1，第五行空缺的数列为1p-1 2p-1 3p-1 4p-1，第六行空缺的数列为1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1，第七行空缺的数列为1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1，第八行空缺的数为1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1 7p-1. 如此类推可得到如下正三角排列：

1p-1

1p-1 2p-1

1p-1 2p-1 3p-1

1p-1 2p-1 3p-1 4p-1

1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1

1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1

1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1 7p-1

1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1 7p-1 8p-1 …

1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1 7p-1 8p-1 … （n - 1）p-1

假设s = ip的求和公式存在，且为p + 1次多项式. 那么其中每一行数的和可以通过代入sxp-1求得，这里x = 1 ～ （n - 1）.

设s = apnp + ap-1np-1 + ap-2np-2 + … + a1n，且假定s～s的表达式都已知. 可得上述正三角形行列式中，第一行的和为s，第二行的和为s，第三行的和为s，依次类推，最后一行和为s. 易知上述倒直角三角行列式中，第一行中所有数之和为s，第二行中所有数之和为s - s，第三行中所有数之和为s- s，依次类推最后一行的所有数之和为s - s. 则得到s = ns - s. 其中

s = ap × 1p + ap-1 × 1p-1 + ap-2 × 1p-2 + … + a1 × 1

s = ap × 2p + ap-1 × 2p-1 + ap-2 × 2p-2 + … + a1 × 2

s = ap × 3p + ap-1 × 3p-1 + ap-2 × 3p-2 + … + a1 × 3

s = ap × 4p + ap-1 × 4p-1 + ap-2 × 4p-2 + … + a1 × 4

s = ap × 5p + ap-1 × 5p-1 + ap-2 × 5p-2 + … + a1 × 5

s = ap × 6p + ap-1 × 6p-1 + ap-2 × 6p-2 + … + a1 × 6

s = ap × 7p + ap-1 × 7p-1 + ap-2 × 7p-2 + … + a1 × 7

s = ap × 8p + ap-1 × 8p-1 + ap-2 × 8p-2 + … + a1 × 8

…

s = ap × （n-1）p + ap-1 × （n-1）p-1 + ap-2 × （n-1）p-2 + … + a1 × （n-1）

将以上各式竖向相加则可得到

s= aps + ap-1s + ap-2s + … + a1s

故s= ns - （aps + ap-1s + ap-2s + … + a1s ）

其中s= s - np，s = s - np-1，依次類推，代入上式整理可得到以下结果：

s = ，

亦可得：s = ，

其中a1，a2，a3，…，ap-1为自然数幂和公式s的相应各次幂项的系数. s，s，s，…，s为幂≤p - 2次的自然数的幂之和.