“从梯子的倾斜程度谈起（一）”课例分析与感悟

赵冬艳

摘 要 以层层深入的问题为载体，以学生的探究活动为主线，对正切的数学含义进行深入探究，启发学生主动思考，深度参与学习活动，逐步渗透转化的数学思想和构造直角三角形的意识。

关键词 正切 自主探究 转化思想 概念教学

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）19-0016-03

“第四届新世纪杯全国初中数学优质课评比活动”在济南举行，笔者有幸参加了这次评比活动，并且凭借《北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》的第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第一课时获得了说课组一等奖的荣誉，特别是本节课的自创“旗杆”引例和“三个层次的探究问题”的设计，得到了专家们的一致好评。现呈现这节课的教学片断与分析，并引发对概念探究课教学的几点感悟。

一、教学片断分析

1.创设情境，引入新课

（多媒体演示生活中的一个具体问题）

有一个旗杆AB，在地面上旗杆AB的左侧找到一点C，测量出BC的长度为8米，同时测量出∠ACB等于55埃隳芮蟪銎旄薃B的高度么？

【设计意图】创设生活中一个简单具体的问题情境，拉近了研究的问题与学生间的距离，同时也使学生对所研究的问题有了丰富的感性认识，为深入研究奠定基础。

2.探索新知，理解概念

探究一：（1）如图，一把梯子斜靠在墙上。滑动前（图中AB）与滑动后（图中A′B′）的位置的梯子，哪一个更陡些？（2）你是根据什么判断的？如何描述梯子在两个不同位置的具体的倾斜程度呢？

探究发现一：倾斜角越大，梯子越陡。

探究二：①在图1中，梯子AB和梯子EF哪个更陡，你是怎样判断的？你有几种判断方法？

[生1]（如图1-1）我们可以把AB向右平移，把两个梯子放在同一个墙上，通过比较倾斜角的大小来比较两个梯子哪个更陡。过点E作AB的平行线交于点G，所以∠ABC=∠EGD，那么我们要看这两个梯子谁陡，就是要看∠EGD和∠EFD谁大。因为△ABC≌△EGD，所以GD=BC=2.5m>DF，即点G在DF的延长线上，那么∠EFD是△EGF的外角，外角大于任何一个与它不相邻的内角，所以∠EFD>∠EGD，即EF更陡。

②在图2中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？

[生2]（如图2-1）和刚才的方法类似，过点F作AB的平行线交于点G，所以∠ABC=∠GFD，而∠EFD>∠GFD，所以梯子EF更陡。

③那么在下图3中，梯子AB和EF哪个更陡？你又是怎样判断的？

[师]我们观察图3发现两个梯子的铅直高度和水平宽度都不相同，而且两个梯子的倾斜角度也很接近，要判断哪个梯子更陡就比较困难了。下面，请同学们先独立思考，再分小组讨论，最后请每个小组派一名代表阐述你们组的解决方法。

[生3] （如图3-1）在AC上截取CG=DE，过点G作GH平行于AB，则△CGH∽△CAB，由相似的性质可求出CH的长，将CH与DF的长度进行比较，就转化到问题一，从而可求。

[师]这位同学巧用相似形，将问题转化为比较水平宽度，非常好掌声送给他！同学们再来观察这些图中所给的数据，这些数据中蕴含的规律对你有什么启示？

[生4] 我发现在图1中>，所以EF更陡；在图2中>，所以EF更陡； 在图3中>，同样我们验证了EF更陡。所以铅直高度与水平宽度的比值越大，梯子越陡。

[师]太棒了，这位同学运用类比归纳的方法，发现了规律。所以我们可以通过计算铅直高度与水平宽度的比值来比较梯子的倾斜程度。而这种方法也简单易行。

④那么在图4中，梯子AB和EF哪个更陡呢？[生5]因为==2，所以两个梯子一样陡。于是得到：铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡。

（多媒体演示，梯子上升变陡的动画） 探究发现二：铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡。

[师]“倾斜角”以及“铅直高度与水平宽度的比值”既然都能用来判断梯子的倾斜程度，那么它们两者之间是否存在着某种固定的关系呢？我们继续探究。

探究三：如图，若小明不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离了B1C1，进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么好办法？

[生6]将梯子的长度测量出来，再将梯子下端到墙角的距离测量出来，用勾股定理求出铅直高度，再用铅直高度与水平宽度的比来刻画。[师]这种方法可行，还有没有其他的办法？

[生7]找一适当的位置，使人的头顶刚好处在梯子上，另一同学测出他的身高及脚到梯子下端的距离，用铅垂高度与水平宽度的比来刻画该梯子的倾斜程度。

[师]这位同学的做法可以么？下面我们把这一问题抽象成几何问题。

提出问题：（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？（2）和有什么关系？（3）若改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？

[生8]由图可知，B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得B2C2//B1C1，所以Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2。由相似三角形的性质可得出：=。[师]如果改变B2在梯子上的位置，上面的两问还成立么？由此你能得出什么结论。（多媒体演示B2在梯子上的不同位置时的情况）

[师] B2在变化的过程中，∠A和始终没变，在∠A所在的直角三角形中，B2C2叫∠A的对边，AC2叫∠A的邻边，当∠A确定时，∠A的对边与邻边的比值也随之确定，也就是说，这一比值只与∠A有关，而与∠A所在的直角三角形的大小无关。

探究发现三：当倾斜角确定时，它的对边与邻边的比值也唯一确定。

【设计意图】理解正切的数学含义是本节的重点，因此我在引出正切概念这部分设计了三个探究活动，从三个层次逐步阐明了正切的数学含义。探究一：感受倾斜角能刻画梯子的倾斜程度。探究二：感受铅直高度与水平宽度之比能刻画梯子倾斜程度，这是本节课的难点。为了突破难点，我设计了四个环环相扣的问题，然后通过多媒体动画演示，加深学生对这一结论的理解。探究三：感受倾斜角和铅直高度与水平宽度之比的关系，从而建立正切的概念。

在灵活运用，延伸拓展这一环节，只设计了一个例题和两个练习，例题不但巩固了正切的定义，而且自然地引入了坡度的概念，起到了承上启下的作用。两个练习帮助学生充分理解坡度的概念，同时培养了学生构造直角三角形的意识。

最后通过本节所学的知识解决了引例中提出的问题，做到前后呼应，从问题的提出到问题的解决，体现了数学来源于生活又服务于生活的思想。

二、关于概念探究课教学的几点感悟

本节课经过多次打磨后，我体会到要上好一节概念课，需要注意以下几点：

1.概念探究课的问题引入要贴近现实且能突出主题

《课标（2011年版）》指出，素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验。这些素材应当在反映教学本质的前提下，尽可能地贴近学生的现实以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程。因此在引课环节，我设计了一个简单有趣的生活中求旗杆高度的问题，不但让学生体会到本章知识是在学习了直角三形边之间的关系和角之间的关系的基础之上的继续，而且拉近学习内容与学生之间的距离，这样的设计即体现了数学来源于生活又服务于生活的思想，又自然的体现了本章的主题，充分调动了学生的学习积极性。

2.概念探究课应注重概念的形成过程

概念形成是概念学习历程中非常重要的一部分，也是思维过程中最复杂的部分，如何把握好这部分教学，让学生真正理解概念，我认为要做到以下几点：

（1）设计逐层递进的探究活动

《课标（2011年版）》指出，教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。本节课设计的三个层层递进的探究活动，让学生逐步掌握重点内容，突破了难点。同时学生的积极性被充分的调动了起来，达到了预设的目标。

（2）课堂练习不宜过多过难

我在磨课的过程中体会到：只有把概念讲清讲透学生充分理解了，课堂上只讲基础题，学生照样会做难题，这样的课就成功了。最终我在灵活运用延伸拓展这个环节只设计了一个例题和两个练习，主要考察学生对知识的直接应用，而把重点放在了经历概念发生发展过程的三个探究活动上，从学生的作业情况看，效果非常好，学生真正理解了概念，灵活运用的题目也做得得心应手。在后续的习题课中，可以再有针对性的进行提高。

总之，数学概念教学是中学数学中至关重要的一项内容。学生数学素养差别的关键是在对数学概念理解，应用和转化等方面的差异。因此抓好概念教学是提高初中数学质量的带有根本性意义的一环。教学过程中应充分考虑到这一因素，抓住有限的概念教学的契机，以提高大多数学生的素养。

参考文献：

[1] 义务教育数学课程标准修订组.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 孙道斌.构筑数学概念教学的理想课堂[C].合肥：教育部北京师范大学基础教育课堂研究中心，2014，（3）：48-52.