“一线三等角”模型在初中数学中的应用

吴敏

相似三角形在初中几何的教学中发挥着不可小觑的作用，在中考考题中常有涉及和渗透，笔者在初三的教学中发现掌握相似三角形的基本图形，对培养学生分析问题和解决问题的能力有一定的促进作用。本文以相似三角形中的“一线三等角”这一基本图形为载体，研究这一基本图形背景下的相关题型，并进行了收集与整理，希望对学生灵活应用这一模型有所帮助。

一、弄清基本模型定义和解题原理

二、应用举例

1.在“动点问题”中的应用

例1：如图2，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，设BM的长为x cm，CN的长为y cm.求点M在BC上的运动过程中y的最大值。

分析：由图可知∠B=∠C= ∠AMN=90°，Rt△ABM与Rt△MCN成“一线三等角”模型，所以Rt△ABM∽Rt△MCN，从而，所以，.所以y的最大值为。

【变式】如“例1”的条件，将问题改为“当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2.”

分析：四边形ABCN的面积为，BC，AB的长都为1，是定值，只有CN在变化，要使四边形ABCN的面积最大，则CN最大，即转化为“例1”的问题.

2.与反比例函数联手

例2：（2015·孝感）如图3，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上.若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（ ）

A.-4 B.4

C.-2 D.2

分析：看到反比例函数图像上的点A，并且要求的点B也在反比例函数图像上，从而联想反比例函数解析式中“k”的几何意义解决问题.过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D.根据“一线三等角”模型，很容易得到△ACO∽△ODB，从而==4，然后用反比例函数解析式中“k”的几何意义即可.

3.在“直角三角形存在性问题”中的应用

点的存在性问题始终是中考考查的热点和难点，对学生的思维能力和模型思想等基本数学素养有着较高的要求，所以一直困扰着学生.数学解题研究中一直很关注一题多解的研究，多一种解决问题的方法，能让学生步入考场有更多的选择，直角三角形的存在性问题多数教师在讲解的时候是引导学生利用解析式法“”和勾股定理解决.笔者在教学中发现，利用“一线三等角”模型解决直角三角形的存在性问题也是一种通用方法，即便这个点在抛物线上也能使用（当点在抛物线上时，利用勾股定理会出现四次情形，初中学生无法解决），能为学生解决这类问题提供了一种新的选择。

分析：如图5，以AB为直径作圆，与x轴的交点就是所要找的点P.

连接AP，BP，过点B作BF⊥x轴.因为AB是直径，所以∠APB=90°，故∠APB=∠AOP=∠BFP=90°.根据“一线三等角”模型，很容易得到△AOP∽△PFB，从而，设OP长为x，则，从而能求出x，解决问题。

通过解决上述问题，学生对点的存在性问题——直角三角形的存在性问题获得了基本的解题经验，下面将“一线三等角”模型在存在性问题中的研究拓展到以抛物线为背景的题目中，通过构造该模型，利用相似的判定和性质解决问题困扰学生的二次函数压轴题。

例4：如图6，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使得△BCP是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。

分析：如图 6，以BC为直径作圆，与抛物线的对称轴的交点就是所要找的点P.过点P作直线l∥x轴，交y轴于点M，过点B作BN⊥l，交l于点N. 根据“一线三等角”模型，很容易得到△CMP∽△PNB，从而，设点P的坐标为（2，t），易求得点C的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，0），则CM=3-t，，NP=4，BN=-t，从而，求出t的值就能求出点P的坐标了。

从例3和例4可以看出，探寻或构造基本图形能帮助我们解决一类题。其实对于二次函数背景下直角三角形的存在性问题，当需要探究的那个点在抛物线上时，能较好的体现“一线三等角”这一模型在计算中的优越性，下面举一例加以说明。

例5：如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由。

分析：容易求得该抛物线的解析式为：，从而求得点M的坐标为。通过前面的学习，学生知道运用勾股定理解直角三角形的存在性问题，因此第一次做这个题的时候很多同学都是尝试利用两点间的距离公式变式出三边的长度，再由勾股定理列方程，通过尝试发现运算量很大。从而引导学生“一线三等角”模型解决此问题，发现计算简便，省了不少的功夫。

过点M作直线MH⊥AM，交抛物线于点M.过点M作直线l∥x轴，过点A作AE⊥l，交l于点E，过点H作HF⊥l，交l于点F。根据“一线三等角”模型，很容易得到△AEM∽△MFH，从而，设点H的坐标为（），则AE=，EM=，MF=，HF=，从而，求出t的值就能求出点H的坐标了。

三、一点思考

通过上述的研究，我们可以感受到“一线三等角”模型在各个知识背景下的广泛应用。为此，在平时的教学中，作为一线教师有必要尝试这样的专题研究，让学生的大脑体系中形成比较完善的知识储备，培养学生对基本图形的敏锐观察力，以便适时的将基本图形当做一把利剑，灵活运用到数学解题中。当然，这样的小专题研究只是对提高学生解题能力的一种尝试，如果学生只是死记硬背、生搬硬套，这样对学生的学习不会起到很好的促进作用。因此，在后续的教学中还需要研究如何将这样的专题课进行有效的开展，以便更好的提高课堂教学效率，提高学生的学习效率。