初中数学最值问题探究

谢保银　熊志新　汤军荣

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）20-0097-01

近年来，最值问题已成了中考压轴题的趋势。它要求学生具有很强的分析能力与综合运用数学知识、数学解题能力。本文以2014年无锡市的填空压轴最值题为例，对这类最值问题进行探究。

例题（2014·无锡）如图1，菱形ABCD中，∠A=60埃珹B=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 。

原题解析：（摘自网络）

考点：轴对称——最短路线问题；菱形的性质；相切两圆的性质。

分析：利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可。

解答：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，如图2。

∵菱形ABCD中，∠A=60埃郃B=AD，则△ABD是等边三角形，

∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，

∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3。故答案为：3。

探究：上述问题是2014年无锡中考的压轴填空题，考生看到题目后束手无策，究其原因，其表面现象由三个动点求最小值，这种气势颇为吓人。分析以后发现，对于这个问题，上面网络的解析，不够全面缜密。其实这个问题真正考的重要知识点有两个，一是轴对称最短路线问题，二是圆外一点到圆的最小距离问题。

为了真正透彻理解这个问题，我们对前面所说的两个知识点作进一步解释如下：

首先，在一定直线上找一动点，使得这个动点到直线同旁的两个顶点距离最短，这就是考的轴对称最短线路问题。如图3，在直线AB上找一点P使得PC+PD最小，其作法是先作C、D中的任意一点关于直线AB的对称点，然后连接另一个端点，连线与AB的交点就是所要找的P点。

其次，定圆外一定点与圆上各点连线段中哪条最短。如图4，⊙O外一定点P，在⊙O上找一点M，使得PM最短，则M点是线段PO与⊙O的交点。圆上的其它点与P点的连线段都要大于PM。

如果是已知两个定圆和两圆外一定点，要在两个已知圆上各找一点与这个圆外的点连线段的和最小呢？如图5，点P是⊙O1和⊙O2外一点，在⊙O1和⊙O2分别找一点N、M使得PM+PN最短。其作图方法是连接PO1和PO2，PO1和PO2与⊙O1和⊙O2交点就是N、M。

显然这个问题可以推广到n个定圆和圆外一定点，要在n个圆上分别找一点与圆外这点的连线段和最小，解法思想是相同的。

在前面知识的基础上，2014年无锡的这个压轴填空题就可以理解了。要在CD上找一点P，使得点P与⊙A和⊙B上的动点E、F连接后，PE+PF最小。如果P是CD上的定点那就秒杀了，只要连接PA、PB即可。但现在P是CD上的动点，通过分析可以知道如果PA、PB的和能最短，那么PE+PF也就最小了，因为EA和FB半径是定值。作B点关于CD的对称点，然后连接A点，与CD的交点就是P点，在连接PA、PB与两圆的交点就是E点和F点。PE+PF的最小值就等于（PA+PB）减去两圆的半径和，从而这个问题迎刃而解。由于原问题中，“60傲庑巍钡奶厥庑裕贾略谌〉米钚≈凳保鉖刚好是点D。

启发：最值问题作为压轴题一直是困扰教师和学生的难点，本文列举2014年无锡中考最值问题进行探究。将较为复杂的动点最值问题，化动为静、由浅入深使这类问题变得简单易懂，从而调动学生积极性，启发学生思维，提高学生的解题能力和探索能力。

（责任编辑 陈 利）