“常用逻辑用语”中的“非P”的教学反思

陈会

摘要：命题和命题的否定的真假性是相反的，但在处理具体题目时经常会产生一些看似矛盾的结果，追究本源主要是在教学中对基本的概念定义研究不透，教学中教师要不断提高自己的专业知识，做教材研究者、开发者，不能“教”教材，而是要“用”教材。

关键词：命题;命题的否定;研究;教材

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2016）03-089-1

问题：这是学生和我讨论的他在课外资料上做的一道题目：若x>y，则x2>y2的否定是（填“真”或“假”）命题。学生说他也知道因为命题若x>y，则x2>y2是假命题，所以他的否定是真命题，可是他就是有一个疑惑：因为命题若x>y，则x2>y2的否定是若x>y，则x2≤y2，也是一个假命题，这和我们学习的命题和命题的否定的真假是相反就矛盾了，这是怎么一回事呢？

虽然我也清楚，命题和命题的否定的真假性一定是相反的，但眼前学生的过程似乎也没有漏洞可寻，所以，只能和学生说，你的问题很好，命题和命题的否定的真假性一定是相反的，肯定有哪个环节没有搞清楚，我再研究一下给你解答。学生走后，我将这个问题和组内老师交流的一下，老师一时之间也找不到问题到底出在哪里，有老师还上网搜了一下，搜完的结果让一些老师心里也动摇了，网上关于“命题和命题的否定的真假是不是一定是相反的”的答案居然是两种，一种说法确信：命题和命题的否定的真假是不是一定是相反的;另一种说法是，命题和命题的否定的真假是不是不一定是相反的，还配有例子，选取比较典型的：

其一命题p：若a>-1，则a2>1。（假）

p：若a>-1，则a2≤1。（假）

其二命题p：x∈R，1x2>0。（假）

p：x∈R，1x2≤0。（假）

问题的解决：看到第二个例子让我想起，对于命题p则q，它的否定不一定是若p则q，因为“非P”试将一个完整命题“P”的整个含义进行否定，而非之否定结论。比如对于一类含有量词的命题，在全称量词和存在量词的命题中，在不引起误解的前提下，全称量词可以缺省。

网络上的例子，第一个同样是全称命题，

命题p：a>-1，a2>1。（假）

p：a>-1，a2≤1。（真）

对于第二个例子，是一个“若p则q”形式的假言命题又称条件命题。一般地，在形式逻辑中，对于“若p则q”形式的命题，如果q真，那么不论p是真是假，命题“若p则q”为真;如果q假，p也假，那么命题“若p则q”也为真;如果q假，p真，那么命题“若p则q”为假。总之，“若p则q”形式的命题，只有p真且q假时为假，其他情况下均为真。故命题p：x∈R，1x2>0是真命题，而其否定p：x∈R，1x2≤0是假命题;

反思：上述问题的解决也让我对“常用逻辑用语”（《数学选修21》苏教版）这一章的教学陷入深深地反思。关于命题的否定，学生在学习中常见的错误有：

（1）认为“非P”就是否定结论;

（2）认为“非P”就是在原命题的判断词前加上否定词;

（3）认为“非P”就是原命题的否命题;

（4）当P时复合命题时，忽视对相关逻辑联结词的否定。

这些错误的根源都是没有领会“非P”的定义，这些易错的问题也给我们的教学以警示。

首先在教学中教师要深入研究，吃透教材，把握好教材的深度和广度。《数学选修21》（苏教版）大纲中对于简单逻辑连接词“或”“且”“非”的要求是：通过教学实例，了解逻辑连接词“或”“且”“非”的的含义。对于命题的否定，教材并没有给出给出命题否定的概念，只是通过一个例子：2不是有理数，这个命题是对命题“2是有理数”进行否定而成的新命题，在逻辑上用“非”来表示，而“非p”也叫做命题的否定，记做p，所以我们教学的重点是通过一定量的实例，让学生了解“非”的含义是将原命题的整个含义进行否定，而非形式化的去写出命题的否定。即便在教学中，教师要区分命题的否定和否命题这两个概念，也不能将命题“若p则q”的否定形式化的表示为“若p则非q”，造成逻辑的错误。

其次，教师要善于挖掘教材，创造性地使用教材。教材是教学活动的一种媒介和载体，在实际教学实践中，教师在教材面前不是被动的执行者，而是研究者、开发者。教师不是教教材，而是要用教材。对于全称命题省略量词这一表达形式，给出全称命题定义时并没有说明，但是在教材例题中却体现出来了。例如：写出下列命题的否定《数学选修21》苏教版第16页例1）：

（1）所有人都晨练;

（2）x∈R，x2+x+1>0;

（3）平行四边形的对边相等;

（4）x∈R，x2-x+1=0。

第（3）题就是省略了全称量词的全称命题。以下是教材中的解答：“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等，它的否定是“存在平行四边形它的对边不相等”;在这里教师一方面就要强调含有量词的命题的否定的形式，又要向学生介绍这类省略了全称量词的命题。

最后，教师要提高自己的专业知识。逻辑逻辑问题看似简单，实则抽象难懂。数学是一门以演绎为主的科学，需要讲究逻辑基础。近年来，将简单的逻辑知识纳入中学数学教材教学，已成为国内外中学数学教材改革的一种趋势。现在高中知识对逻辑知识要求越来越高，但我们教师在逻辑方面的知识却是欠缺的。所以，教师要不断地加强专业知识的学习，以适应新的教学要求。

[参考文献]

[1]刘彦宏.浅谈“简易逻辑”中的“否命题”和“非P”.科教平台，2007（03）.

[2]周鸿高.再谈逆否命题与原命题的真假性关系.数学通讯，2009（09）.