假设检验的案例式教学方法研究

黄文蝶　周江霖

摘 要：假设检验是统计教学中的一个重点和难点。本文以案例式教学方法为主导，结合启发式教学，力图将这一问题的基本思想与步骤阐述清楚，引导学生在掌握原理的同时进一步深化统计思想的培养。

关键词：假设检验；案例式教学；启发式教学

假设检验是统计推断中非常重要的一个问题，也是统计教学中的一个难点所在。本文以案例式教学方法为主导，结合启发式教学，力图将这一问题的基本思想与步骤阐述清楚，引导学生在掌握原理的同时进一步深化统计思想的培养。

一、提出问题

产品质量问题是当今社会的一个热门话题，这节课我们就用假设检验的方法来检验一种非处方药的质量是否合乎规定。

例：一种无需医生处方可得到的治疗咳嗽和鼻塞的药，按规定其酒精含量为5%.今从已出厂的一批药中，随机抽取10瓶，测试其酒精含量为：5.01，4.87，5.11，5.21，5.03，4.96，4.78，4.98，4.88，5.06。已知酒精含量服从正态分布N（μ，0.00016）。

向学生提出问题：如果现在你是一名质检员，那么你认为这批药品是否合格？

二、分析问题

引导学生对这一问题进行逐步深入地分析：现在关注的是这一批药的酒精含量——这是我们的研究总体；手头掌握的资料有，10瓶药品的酒精含量数据以及总体所服从的分布。

判定这批药品是否合格，关键是看总体均值μ是否为5：若μ=5，则药品合格；若μ≠5，则药品不合格。

通过点估计的学习，我们知道总体均值可以用样本均值去估计，容易得到μ的估计值为4.989，显然4.989≠5，那么这个时候能否下结论：这批药品不合格？如果贸然下这样的结论，既不能让人信服，自己也会存在疑惑：一方面，样本均值只是总体均值的一个估计量，并不能完全代表总体均值；另一方面，样本均值受随机因素的影响比较大，而4.989与5相差这么小，这个误差似乎是可以接受的。到底可以容忍的最大误差是多少呢？这成了我们最终关注的问题。

将上述分析过程条理化，我们便得到了假设检验的基本步骤。

三、解决问题

1.建立原假设和备择假设

正所谓万事开头难，能否合理地建立原假设，关系着整个假设检验的成败。关于如何建立原假设，学者们各抒己见：茆诗松主张以“不能轻易否定”为原则，何书文以“与事实相反”为原则……总之一句话，原假设是受到保护的、不会被轻易推翻的。

在我们研究的这个问题中，建立原假设与备择假设如下：

H0：μ=5， H1：μ≠5

2.构造检验统计量

在提出原假设后，要构造一个特殊的统计量：其分布在原假设下是已知的，其数值直接影响最后的结论。通常情况下，将原假设中未知参数的数值代入区间估计中的枢轴变量，即可得到我们需要的检验统计量。

在σ2已知的条件下，μ的区间估计中用到的枢轴变量为，将μ=5，σ2 =0.00016，n=10代入，检验统计量为，且Z～N（0，1）。

3.确定H0的拒绝域

在H0成立时，观察检验统计量取值的特点（偏大、偏小、绝对值偏小等），给出对H0不利的小概率事件，使得小概率事件发生的样本观测值的集合，称为H0的拒绝域。

为了解释拒绝域的定义，带领学生回顾“小概率事件原理”—小概率事件在一次试验中是不会发生的。在学习古典概率的时候，我们曾经举了一个“女士品茶”的例子：一位常饮牛奶加茶的女士称，她能从一杯冲好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶。她在10次试验中都正确地辨别出来了，问该女士的说法是否可信。

我们假设该女士说法不可信，计算得出事件A=“10次试验都能正确指出放置茶和牛奶的先后次序”发生的概率为0.0009766，这是一个非常小的概率。依据小概率事件原理，A应该是不会发生的，这与实际结果相矛盾，因此认为假设“该女士说法不可信”不成立，有理由断言该女士的说法是可信的。

实际上，在假设检验的过程中正是利用了“小概率事件原理”，思路与上述例子是完全一致的：先假定H0成立，如果从试验数据计算出检验统计量Z的值非常罕见，此时，我们认为小概率事件发生了，这是由于H0所导致的矛盾，因此，拒绝H0；否则，接受H0。

回到我们研究的问题：若H0成立，则样本均值与5的差距比较小，即|Z|较小。因此，拒绝域的形式为{|Z|>a}，数值a应该如何确定呢？

如果在H0成立的条件下，作出了拒绝H0的结论，称之为第一类错误，将第一类错误的概率记为α，有时又称α为显著性水平。通常情况下，我们控制犯第一类错误的概率，α一般取0.05，即P （|Z|>a| H0 ） =0.05。此时，查标准正态分布表可知，a=1.96，拒绝域为{|Z|>1.96}。

4.作出结论

计算检验统计量的值，观察其是否落入拒绝域，下结论。

将样本均值代入，得到Z=2.75，|Z|>1.96，落入拒绝域中，因此，该批药品的酒精含量不符合规定。

四、问题的深入与探索

如果我们将α的值选为0.002，查表可得a=3.090，此时，|Z|在确定拒绝域时，我们介绍了第一类错误——在H0成立的条件下，作出了拒绝H0的结论。有一就有二，如果在H0不成立时，作出了接受H0的结论，称之为第二类错误。请同学们思考：犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率，两者之间是否存在关系？如果存在关系，是一种什么样的关系？

参考文献：

[1]胡发胜.宿洁.数理统计[M].山东大学出版社，2004.

[2]茆诗松.概率论与数理统计[M].北京：中国统计出版社，2000.

[3]同济大学应用数学系.概率统计简明教程[M].北京：高等教育出版社，2012.

（作者单位：武警警官学院）