基于脉冲控制的害虫管理模型

宋 燕, 张庭婷, 姜 威

(渤海大学数理学院， 辽宁 锦州　121000)



基于脉冲控制的害虫管理模型

宋 燕, 张庭婷, 姜 威

(渤海大学数理学院， 辽宁 锦州121000)

摘要：基于喷洒杀虫剂及投放病虫的综合控制害虫策略， 建立了具有脉冲控制的微分方程模型. 利用脉冲微分方程的Floquet定理、 比较定理， 证明了害虫灭绝周期解的全局渐近稳定性与系统的持久性， 并利用分支理论给出了正周期解存在的分支参数.

关键词：脉冲控制； 害虫灭绝； 全局渐近稳定； 持久性； 正周期解

0引言

传统的害虫防治策略是喷洒农药， 该方法不仅操作简单而且见效快， 特别是在害虫猖獗的时候， 各种化学及生物农药可以迅速杀死大量的害虫.但是由于化学农药的不合理、 过量使用， 病虫害产生抗药性， 导致农药残留量大、 环境污染严重、 人畜中毒现象时有发生， 严重危害了人们的生活.为了减少农药对人类造成的危害， 人们开始采取强制防治措施.近年来， 文献[1-5]研究了在喷洒杀虫剂的同时投放染病的害虫或投放天敌来控制害虫， 取得了许多好的结果.本文基于喷洒杀虫剂及投放病虫的综合控制害虫策略， 建立了具有脉冲控制的微分方程模型， 利用脉冲微分方程的Floquet定理、 比较定理， 证明了害虫灭绝周期解的全局渐近稳定性与系统的持久性， 并利用分支定理给出了正周期解存在的分支参数.

1模型的建立及预备知识

将害虫分为易感类S， 染病类I， 设t时刻总害虫数量为N(t)， 易感类数量为S(t)， 病虫数量为I(t)， N(t)=S(t)+I(t).本文假设：

1) 没有染病时， 害虫种群按Logistic规律增长， 病虫没有生育能力， 而且不能危害农作物；

2) 每只病虫对易感类害虫都具有传染力， 传染系数为β；

3) 在时刻t=nτ(n=1, 2, 3, …)喷洒杀虫剂和投放病虫同时进行， 设杀虫剂对易感类害虫及病虫的杀死率分别为p1与p2， 0≤p1, p2<1， 每次投放病虫的数量为μ.

考虑如下具有脉冲控制的害虫管理模型

(1)

其中： r>0是易感类害虫的内禀增长率； K>0是环境容纳量； 0<θ<1； ω为病虫的死亡率； τ为脉冲周期.

引理1设X(t)=(S(t), I(t))是系统(1)的解， 并且满足初始条件X(0+)≥0， 则对所有的t≥0， 都有X(t)≥0； 若X(0+)>0， 则对所有的t≥0， 都有X(t)>0.

引理2设函数m(t)∈PC′[R+, R]满足下列不等式

其中： p(t), q(t)∈PC′[R+, R]且dk≥0， bk是常数， 则

引理3系统(1)的所有正解是一致最终有界的， 即存在M>0， 使得对充分大的t， 有S(t)≤M, I(t)≤M.

证明令V(t)=S(t)+I(t)， 则当t≠nτ时， 有

V(nτ+)=S(nτ+)+I(nτ+)=(1-p1)S(nτ)+(1-p2)I(nτ)+μ≤V(nτ)+μ

于是由引理2知

所以V(t)是一致最终有界的， 从而存在常数M>0， 使得当t充分大时， 有S(t)≤M, I(t)≤M.

引理4考虑系统

(2)

其中： b, μ>0, 0<θ<1， 则系统(2)存在唯一全局渐近稳定的正周期解

证明由计算知， 系统(2)的第一个方程的解为

w(t)=w((n-1)τ+)exp(-b(t-(n-1)τ))((n-1)τ

于是w(nτ)=w((n-1)τ+)exp(-bτ)， 由系统(2)的第二个方程可得频闪映射

w(nτ+)=(1-θ)w((n-1)τ+)exp(-bτ)+μ

该映射存在唯一不动点

且易知该不动点是全局渐近稳定的， 于是系统(2)存在全局渐近稳定的正周期解

2害虫灭绝周期解的存在性及稳定性

证明当S(t)=0时， 得到系统(1)的子系统

(3)

由引理4知， 系统(3)存在唯一全局渐近稳定的正周期解

易知其基解矩阵为:

在下面的计算中没有用到*， 所以没有必要给出其确切的表达式. 相应地， 系统(1)的脉冲条件为

于是系统(1)的单值矩阵为:

这时有ξ.

(4)

由系统(1)的第一个方程知， 当t>N1τ时，

对第一个方程在区间((n-1)τ,nτ](n>N1+1)上积分得

于是有S(nτ)≤S(0+)·ξn→0(n→∞).又当t∈((n-1)τ,nτ]时，

(5)

由引理4知， 系统(5)有全局渐近稳定的正周期解

由上面的讨论知， 系统(1)的害虫灭绝周期解是全局吸引的， 从而是全局渐近稳定的.

3系统的一致持续性

证明已知存在M>0， 使S(t)≤M,I(t)≤M.下面证明： 存在m>0, 使得当t充分大时， 有S(t)≥m,I(t)≥m.

下面证明存在t1>0， 使得S(t1)≥m*. 否则对∀t>0， 有S(t)

(6)

考虑脉冲微分方程

(7)

由引理4知系统(7)有全局渐近稳定的正周期解

由系统(1)的第一个方程知， 当t充分大时， 有

(8)

在区间((n-1)τ, nτ]上积分得

由前面条件知，η于是S(nτ)≥S(0+)·ηn→∞(n→∞)， 这与S(t)有界相矛盾， 故存在t1>0， 使得S(t1)≥m*.

S((n1+1+n2)τ)≥S((n1+1)τ)·ηn2

当t∈(t*, (n1+1)τ]时，

(9)

在(t*, (n1+1)τ]上积分得

于是

取m=min{m1,m2}， 则当t充分大时， 有S(t)≥m,I(t)≥m.

4正周期解的存在性

证明为了与文[6]中定理的符号一致， 令x1(t)=I(t)，x2(t)=S(t)， 则系统(1)变为

经计算得

=1-(1-p2)exp(-ωτ0)>0

从而f(τ0)>0， 因此B<0， 即BC<0.利用分支定理， 在点τ0处， 系统(1)发生了超临界分支， 即当τ>τ0， 并且在τ0附近， 系统(1)存在一个正周期解.

参考文献：

[1]ZHANGH，CHENLS.Impulsivecontrolstrategiesforpestmanagement[J].JournalBiologicalSystems， 2007， 15 (2): 235-260.

[2]SHIRQ，CHENLS.Apredator-preymodelwithdiseaseinthepreyandtwoimpulsesforintegratedpestmanagement[J].AppliedMathematicalModelling， 2009， 33(5): 2 248-2 256.

[3] 张树文， 陈兰荪. 具有脉冲效应和综合害虫控制的捕食系统[J]. 系统科学与数学， 2005， 25(3): 264-275.

[4]JIAOJJ，CHENLS.NonlinearincidencerateofapestmanagementSImodelwithbiologicalandchemicalcontrolconcern[J].AppliedMathematicsandMechanics， 2007， 28(4): 541-551.

[5]WANGX，TAOYD，SONGXY.Analysisofpest-epidemicmodelbyreleasingdiseasedpestwithimpulsivetransmission[J].NonlinearDynamics， 2011， 65(1): 175-185.

[6]LAKMECHEA，ARINOO.Bifurcationofnontrivialperiodicsolutionsofimpulsivedifferentialequationsarisingchemotherapeutictreatment[J].DynamicsofContinuous，DiscreteandImpulsiveSystem， 2000， 7(2): 265-287.

(责任编辑： 林晓)

The pest management model with impulsive control

SONG Yan， ZHANG Tingting， JIANG Wei

(College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou， Liaoning 121000， China)

Abstract:Based on the integrated control strategy with spraying pesticides and releasing infective pests to control pests, we establish a model of differential equations with impulsive control. Using the Floquet Theorem of impulsive differential equations and the Comparison Theorem, the globally asymptotical stability of the periodic solution of susceptible pest eradication and the permanence of the system are proven, and using bifurcation theory the bifurcation parameter for existence of the positive periodic solution is given.

Keywords:impulsive control; pest eradication; globally asymptotical stability; permanence; positive periodic solution

中图分类号：O175.12

文献标识码：A

基金项目：国家自然科学基金资助项目(61070242); 辽宁省教育厅基金资助项目(L2012404)

通讯作者:宋燕(1962-), 教授, 主要从事常微分方程定性理论及非线性生物动力系统研究， jzsongyan@163.com

收稿日期:2013-07-17

文章编号：1000-2243(2016)02-0156-07

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.02.0156