基于粒子群算法的粗糙博弈模型与算法设计*
2016-05-25曹黎侠黄光球
曹黎侠，黄光球
1.西安建筑科技大学管理学院，西安7100552.西安工业大学理学院，西安710032
ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8
Journal of Frontiers of Computer Science and Technology
1673-9418/2016/10(04)-0565-08
E-mail: fcst@vip.163.com
http://www.ceaj.org
Tel: +86-10-89056056
* The Natural Science Basic Research Program of Shaanxi Province under Grant No. 2015JZ010 (陕西省自然科学基础研究计划); the Social Science Foundation of Shaanxi Province under Grant No. 2014P07 (陕西省社会科学基金); the Science & Technology Association Decision-Making Advisory Issue of Xi’an under Grant No. 201517 (西安市科协决策咨询课题); the Fund Project of Xi’an Technological University under Grant No. XAGDXJJ1324 (西安工业大学校长基金项目).
Received 2015-07,Accepted 2015-10.
CNKI网络优先出版: 2015-10-20, http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20151020.1041.004.html
Rough Game Model and Algorithm Design Based on Particle Swarm Optimizationƽ
CAO Lixia1,2+, HUANG Guangqiu11. College of Management, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710055, China2. College of Science, Xi’an Technological University, Xi’an 710032, China
+ Corresponding author: E-mail: caolx_8@163.com
CAO Lixia, HUANG Guangqiu. Rough game model and algorithm design based on particle swarm optimization. Journal of Frontiers of Computer Science and Technology, 2016, 10(4): 565-572.
基于粒子群算法的粗糙博弈模型与算法设计*
曹黎侠1,2+，黄光球1
1.西安建筑科技大学管理学院，西安710055
2.西安工业大学理学院，西安710032
ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8
Journal of Frontiers of Computer Science and Technology
1673-9418/2016/10(04)-0565-08
E-mail: fcst@vip.163.com
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Tel: +86-10-89056056
* The Natural Science Basic Research Program of Shaanxi Province under Grant No. 2015JZ010 (陕西省自然科学基础研究计划); the Social Science Foundation of Shaanxi Province under Grant No. 2014P07 (陕西省社会科学基金); the Science & Technology Association Decision-Making Advisory Issue of Xi’an under Grant No. 201517 (西安市科协决策咨询课题); the Fund Project of Xi’an Technological University under Grant No. XAGDXJJ1324 (西安工业大学校长基金项目).
Received 2015-07,Accepted 2015-10.
CNKI网络优先出版: 2015-10-20, http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20151020.1041.004.html
Rough Game Model and Algorithm Design Based on Particle Swarm Optimizationƽ
CAO Lixia1,2+, HUANG Guangqiu1
1. College of Management, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710055, China
2. College of Science, Xi’an Technological University, Xi’an 710032, China
+ Corresponding author: E-mail: caolx_8@163.com
CAO Lixia, HUANG Guangqiu. Rough game model and algorithm design based on particle swarm optimization. Journal of Frontiers of Computer Science and Technology, 2016, 10(4): 565-572.
摘要：连续博弈中至少存在一个混合策略Nash均衡，但是关于无限策略混合策略Nash均衡的解法，以及局中人的策略集或是效益函数是不确定性博弈均衡问题，国内外相关的研究成果还比较少。运用粒子群算法对目标函数没有严格要求，参数较少，编码简单的优势,创立了一种计算无限策略混合策略的近似算法；并在此基础上提出了粗糙博弈论的概念，以粗糙集和Vague集的理论为基础，发现了一种粗糙博弈论转化为经典博弈论的方法。无限策略混合策略Nash均衡的近似算法和粗糙博弈论的研究为策略集和效益函数不确定时的博弈问题提供了理论依据。算法示例结果表明，基于改进的粒子群算法的无限策略混合策略Nash均衡近似算法和粗糙博弈论的解法是有效可行的。
关键词：粗糙集；粒子群算法；混合策略纳什均衡；Vague集
1 引言
经典博弈论只解释了纳什均衡的含义，但没有给出计算纳什均衡的通用计算方法[1-4]。作为博弈论应用的关键，许多学者研究了纳什均衡的计算方法及其计算复杂度[5-8]。这些研究成果主要解决的是有限策略的混合策略纳什均衡和无限策略的纯策略纳什均衡，而无限策略的混合策略纳什均衡研究成果较少。文献[9]给出了无限策略的混合策略纳什均衡解的存在性定理和一种迭代算法[9]，但其只适用于确定性的博弈模型，并没有解决不确定博弈论[10]均衡解的问题。文献[10]介绍了3种方法将各目标的支付矩阵Ãk转化为清晰的支付矩阵，再选择合适的目标权重把多目标的对策问题转化为单目标对策问题，或者根据Vague线性规划法求解。但其只研究了支付矩阵不确定时的矩阵博弈混合策略纳什均衡，没有解决策略集为粗糙集时的博弈问题。关于n人不确定性博弈及博弈的均衡解国内外相关的研究成果还比较少。而当前政治、经济、文化等博弈论的应用领域普遍存在着策略集和效益函数不确定时的博弈和需要求解无限策略混合策略的纳什均衡问题。
因此，本文首先运用极限法的基本思想和粒子群算法对n人无限策略的混合策略纳什均衡进行了系统的研究；然后提出了粗糙博弈论的概念和求解的基本思想与方法；最后通过实例说明本文方法的有效性。
2 理论基础
2.1博弈论简介
博弈论[1-2]就是研究和帮助在相互依存情况中，理性人应当如何做决策使得自己利益极大化的数学理论。它源于历史上一些颇为有趣的游戏，也是一门学问艰深的理论，目前已经广泛应用于政治、经济、旅游、国际关系等诸多领域，因此博弈理论及其应用也日益受到人们的关注与重视。
常见的博弈分类包含非合作博弈和合作博弈，其中非合作博弈包括完全信息静态博弈、完全信息动态博弈、不完全信息静态博弈和不完全信息动态博弈4种类型。
对于完全信息静态博弈来说，如果存在一种策略组合，使得每个参与人的策略是对其他参与人策略的最优反应，如果某种情况下无一参与者可以独自行动而增加收益（即为了自身利益的最大化，没有任何单独的一方愿意改变其策略），则此策略组合被称为纳什均衡[1-2]。
混合策略的n人非合作博弈由下列三因素确定：
（1）局中人的集合N={1,2,…,n}；
（3）每个局中人i有一个支付函数μi=μi(x)。
若局中人i的策略集Si=[ai,bi]，则博弈G=[N,{Si},μi{S1,S2,…,SN}]混合策略为Si上的一个概率分布Fi(x), xi∈[ai,bi]。
本文采取连续博弈离散化的方法得到混合策略纳什均衡近似值。
2.2粗糙集的基本概念
1982年，Pawlak发表了经典论文Rough Sets，宣告了粗糙集理论的诞生。此后，粗糙集理论引起了许多数学家、逻辑学家和计算机研究人员的兴趣，他们在粗糙集的理论和应用方面做了大量的研究工作。目前，粗糙集已成为人工智能领域中一个较新的学术热点，在机器学习、知识获取、决策分析、过程控制等许多领域都得到了广泛的应用。与本文相关的基本概念如下[11]。
粗糙集：给定知识库S=(U,R)，对于每个子集X∈U和一个等价关系R∈ind(S)，可以根据R的基本集合的描述来划分集合X，定义X的R下近似集和上近似集分别如下：
R-(X)={x∈U:xR⊂X}
R-(X)={x∈U:xR⋂X≠∅}
也把posR(X)=R-(X)称为X的R正域，nesR(X)=UR-(X)称为X的R负域，而集合bnR(X)=R-(X)-R-(X) 为X的R边界域。如果集合bnR(X)是空集，则称X关于R是清晰的；如果bnR(X)非空，则称X关于R是粗糙的。
知识依赖性的度量：S=(U,R)为知识库，且C，D⊂R，定义k=rc(D)=card(posc(D)/card(U))为知识D是k度可推导的。这里card(posc(D))表示根据C、U中所有一定能归入D的元素的数目；系数rc(D)可以看作C和D间依赖性的量度。
3 无限策略博弈混合策略纳什均衡的解法
文献[9]给出了当效益函数只有有限个第一类间断点时，n人非合作完全信息静态博弈混合策略纳什均衡解是存在的，并给出了一种无限策略混合策略纳什均衡的近似解法。这种解法是将无限策略博弈均衡问题转化为有限策略博弈，运用非线性规划法达到求其混合策略均衡解的目的，但是当支付函数比较复杂，表现为维数比较高的多峰函数时，难以实现高效优化[12]。鉴于粒子群算法对目标函数没有连续性等要求的优势，并且粒子群算法较其他智能优化算法具有参数较少，容易编码实现，收敛速度快，易于与其他智能算法嫁接等特点，给出一种用粒子群算法来求解无限策略的博弈论混合策略纳什均衡的算法[13]。
3.1算法的基本思想
假设有n个局中人，每个局中人i的策略集Si都是有界闭区间，其效益函数μi(x)关于Xi在策略集Si上只有有限个第一类间断点。由文献[9]知，该博弈存在无限策略混合策略纳什均衡。下面依据数学分析中极限法的基本思想以定量代变量，结合粒子群算法的基本原理[14-15]，给出无限策略博弈论混合策略纳什均衡近似解的基本思想。
首先把局中人i的策略集分成m个区域，如果有间断点，把间断点作为划分时的分界点，则在第j个子区域上的纳什均衡解实质是最优化问题（1）的解：
其中，Sid是第i个局中人的一个纯策略；xi是第i个粒子的位置xi∈Si；Δij是局中人i的策略集Si=[ai,bi]的第j个小区域。
然后在每个子区域上运用粒子群算法对最优化问题（1）进行求解，即为该子区域上的纯策略纳什均衡解。
在粒子群算法中，每个粒子代表博弈的一个混合局势，它们在混合策略组合的空间内搜寻最优的位置。在博弈的纳什均衡中，博弈参与人的策略都是对对方策略的最优反应，因此代表纳什均衡的粒子具有最优的适应度。在算法迭代中，粒子会根据观察到的博弈结果向个体自身最优解学习，且向群体中表现更优的同伴学习。通过学习，每个局中人会调整自己的策略，因此粒子在博弈的混合策略组合的空间内不断发生移动，并最终趋向博弈的均衡点。
最后，根据极限法中以常量代变量的基本思想，以该区域上的纯策略纳什均衡解代替该区域上其他各点的值，就得到了博弈混合策略纳什均衡解的近似值。
3.2改进的粒子群算法求博弈均衡解的算法设计|Δij-1-Δij|≤δ成立，δ是给定的一个阈值，如果在区间Δij上，对∀x1,x2,…,xi-1,xi+1,…,xn，恒有
根据算法的基本思想，对粒子群算法进行改进，设计算法步骤如下：
算法1基于粒子群算法的博弈均衡解的求解算法
步骤1将局中人i的策略集Si任意划分为m个区域Δi1,Δi2,…,Δim，如果有间断点，把间断点作为划分的分界点。
步骤3在每个子区域上使用粒子群算法求出该子区域上n人博弈纳什均衡解，具体步骤如下：
（1）对于给定的j，确定种群的规模粒子数H=40，维数D，学习因子c1=c2=1.6；记忆更新粒子数J=8，惯性权重ω=0.729 8；迭代终止条件为最大迭代次数50次或适应值|| f(x)≤10-6；并令进化代数k=0。
（2）初始化所有粒子的位置和速度（随机取）。
（4）从记忆库中选择J个粒子来替换粒子群中那些适应函数值排在整个粒子群中后J位的粒子。
（5）由式（4）动态调整惯性权重ω：
（6）由式（5）更新粒子的速度和位置，然后转入（3）。
步骤4当j依次取1，2,…，m，重复（1）～（6），得表1即为局中人i的混合策略纳什均衡解。
Table 1 Mixed strategy Nash equilibrium solution of player i表1 局中人i的混合策略纳什均衡解
此算法还可以通过对初始粒子可行化以及对算法迭代步长加以控制，保证粒子在算法迭代过程中始终保持在博弈的混合策略组合空间内。
对n个局中人的博弈，只要局中人的策略集是有界闭区间，效益函数在策略集上有有限个第一类间断点，则其混合策略纳什均衡解都可以用算法1求解。算法1的建立有着广泛的应用领域，能够满足经济、金融效益函数的基本要求，为不确定博弈均衡问题的求解奠定了理论基础。
3.3算法示例
算法1中每个粒子由所有局中人的混合策略来表示，即X=(X1,X2,…,Xn)，根据纳什均衡的定义与性质，粒子的适应度函数如下：
显然，当且仅当混合局势为纳什均衡解时，适应度函数取得最小值0，因此博弈的混合策略组合空间内只有纳什均衡点的适应度为最小。
设博弈的局中人N=3，局中人i的策略集为：
局中人的效益函数依次为：
该博弈满足混合策略纳什均衡存在的条件，并且设δ=1。根据算法1，把局中人i (i=1,2,3)的策略集划分为43个小区域，记为Δ111,Δ112,…,Δ211,…,Δ444。其中各变量分割点依次为1, 2, 3; 0.7, 1.3, 1.9; 0.5, 1.0, 1.5。
考虑到文章篇幅以及只是为了说明算法的有效性和可行性问题，随机抽取16个区域作为研究对象。在此D=3，通过Matlab 2008b编程，按照算法1，得到这16个区域上的纯策略纳什均衡解、适应函数值、效益函数值如表2所示，局中人的混合策略结果如表3所示。
Table 2 Running result of improved particle swarm algorithm表2 改进的粒子群算法的运行结果
Table 3 Mixed strategies Nash equilibrium of players表3 混合策略纳什均衡解
该算例来源于文献[9]。文献[9]给出的近似算法的结果是连续型混合策略纳什均衡解；本文的近似算法是用策略区间上的最优概率作为混合策略，最大的优点就是直观，也适用于多维、多峰目标函数。算法1的运行结果局中人更容易做出在某小区间以多大的概率进行策略选择的决策，而文献[9]还需要进一步的计算。
4 无限策略的粗糙博弈论纳什均衡的求解
4.1粗糙博弈论的概念
定义1在经典博弈论的三要素中，如果局中人的策略集具有不可分辨性，或者效益函数是模糊的，二者至少满足其一，理性局中人应当如何做决策使得自己利益极大化的数学理论，称为粗糙博弈论。
粗糙博弈论按照博弈重复进行的次数分为动态粗糙博弈和静态粗糙博弈；按照局中人了解其他参与者的信息分为完全信息粗糙博弈和不完全信息粗糙博弈。本文只研究完全信息非合作静态粗糙博弈论。
定义2在粗糙博弈中，通过粗糙策略集的精确化[13]，效益（支付）函数的清晰化[10]，将粗糙博弈问题转化为经典博弈模型，此时局中人在精确化后的策略集、清晰化后的效益函数中，得到的经典博弈模型的均衡解作为粗糙博弈模型的粗糙均衡解。
定义3在完全信息非合作静态粗糙博弈论中，设博弈的局中人、局中人的粗糙策略集、模糊效益（支付）函数构成了完全信息静态粗糙博弈模型。该博弈模型通过描述法的方式表示。
局中人：i=1, 2,…,n；
粗糙策略集：论域U上知识S的子集X∈U，关于等价关系R∈ind(S)是粗糙的策略集；
模糊效益函数：模糊效益函数的Vague集为{
据定义2，可以将粗糙博弈模型转化为经典博弈模型，达到求其均衡解的目的。
4.2粗糙博弈模型的求解
根据粗糙集上近似集、下近似集、正域、负域、边界域和粗糙度的有关概念[13]，将边界域中的元素以概率p划分到正域，以1-p的概率划分到负域，其中p为常量，以此方法完成粗糙策略集的精确化。根据Vague集理论与方法[10]，模糊效益函数可以完成清晰化。因此，根据定义2，粗糙均衡解的计算可以分为以下三步来完成。
（1）粗糙策略集的精确化
设局中人i的粗糙策略集为(ai,bi)，它的一个等价关系R∈ind(ai,bi)，可以根据R的基本集合的描述来划分集合(ai,bi)为3个经典集合：posR(ai,bi)、negR(ai,bi)、bnR(ai,bi)。采用连续属性离散化的方法[14]将局中人i的策略集(ai,bi)=[posR(ai,bi)+(bnR(ai,bi))p]⋃[negR(ai,bi)+ (bnR(ai,bi))(1-p)]离散化。设局中人i在R的bnR(ai,bi)中以概率p选择posR(ai,bi)的策略，以1-p的概率选择negR(ai,bi)的策略；然后对局中人的策略集进行约简[16]，合并具有不可分辨关系的对象；再以约简后的策略为决策条件，以效益函数为目标条件，建立决策表，产生约简规则组合，即为局中人i的精确策略集。
（2）效益（支付）函数的清晰化
设局中人i的模糊效益函数的Vague集为{
如果局中人i的粗糙策略集已精确化，模糊效益函数分别在集合[posR(ai,bi)+(bnR(ai,bi))p]和[negR(ai,bi)+ (bnR(ai,bi))(1-p)]上已清晰化，这样，局中人i的效益函数取以S1i和S2i为权的加权平均值：
其中card[ ]表示元素的数目或是区间的长度。
（3）粗糙博弈模型的求解
此时的模型转化为局中人i（i=1,2,…，n）的策略集为经典集合、效益函数为确定性函数的博弈模型的求解，可以运用经典博弈论的理论与方法来完成。
综上所述，只要博弈局中人的策略集和效益函数满足粗糙博弈论的概念，都可以通过以上步骤将粗糙博弈论转化为经典博弈论，再按照算法1求出博弈模型的均衡解。
4.3应用举例
4.3.1问题的描述和模型的建立
假设在电子商务交易中，存在两个网络交易平台，商户只能加入其中一个交易平台才能够进行电子商务活动。这样网络交易平台间存在着博弈，这两个交易平台构成了博弈的局中人。影响平台效益的因素是多方面的，如平台的管理水平、广告费、人气指数、信誉度、盈利额、销售量等。这些因素构成平台间博弈的策略集，平台效益函数是局中人策略集上的一个Vague值，这样建立起二人零和粗糙博弈模型。
4.3.2模型的求解
（1）策略集的精确化
通过发放网络调查问卷和统计分析，对平台的管理水平、广告费、人气指数、信誉度、盈利额、销售量在平台效益中的重要程度进行评价，评价为高、中、一般、低，依次赋值为4、3、2、1，平台的收益提高赋值为1，否则赋值为0。结果如表4。
Table 4 Influence of players strategy on benefit表4 局中人策略的选择对收益的影响
首先合并具有不可分辨关系的对象，删除表4的6、7两行；然后进行属性约简，得到约简属性集{Y3,Y4}、{Y1,Y5}、{Y1,Y6}、{Y2,Y5}、{Y2,Y6}。取属性规则{Y3,Y4}进行数据挖掘，得出规则：
Y3中∨Y3一般Y4高→平台收益“1”即当网络平台的“人气指数中”或者“人气指数一般且信誉度高”时，平台效益都会增加。因此，平台管理者有两种策略可以选择：一是设法提高平台的人气指数；二是重点关注提高平台信誉度。无论这两种策略的哪一种，都需要平台管理者付出财力和精力来做，因此二者之间存在着资源竞争关系。从而，局中人精确化的策略集为{Y3中,Y3一般Y4高}。
（2）效益函数的清晰化
根据式（6）将A1、A2清晰化分别为：
假设专家打分和平台自己的统计资料的权重分别为0.4和0.6，将两个效益矩阵进行线性集结，得到：
根据算法1进行求解，得：
x*=(0.038,0.962,0)，y*=(0.577,0.423,0), v=0.282
当然，也可以根据线性规划法来求解，误差在0.001。即平台1以0.038的概率选择提高平台的人气指数，以0.962的概率选择提高平台的信誉度；平台2以0.577的概率选择提高人气指数，以0.423的概率选择提高信誉度，此时双方达到混合策略纳什均衡，其均衡值为0.282。
5 结论
经典博弈论模型和均衡解的研究存在两个弊端：一是无限策略混合策略的纳什均衡的研究成果较少；二是经典博弈论模型都只是针对确定性的策略集和效益函数所做的研究，并没有解决不确定性博弈问题。
本文首先运用连续属性离散化的方法将无限策略集划分为有限个区间，在每个区间上运用改进的粒子群算法给出了该区间上的纯策略纳什均衡解，再根据极限理论得出无限策略的混合策略纳什均衡的一种近似解法。由于粒子群算法对目标函数没有过高的要求，收敛速度快，适应性强，从而该近似算法具有较强的适应性。此外，本文首次定义了粗糙博弈论、粗糙博弈模型、粗糙博弈模型的均衡解，并发现了一种将粗糙博弈论转化为经典博弈论的一种方法，实现了借助于经典博弈论纳什均衡的方法来求解粗糙博弈论的均衡解。应用实例表明，本文的定义和求解算法是有效可行的。
本文针对均衡解的算法研究和粗糙博弈的理论研究是对博弈论现有理论的发展，拓宽了这门学科的应用范围。
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CAO Lixia was born in 1971. She is a Ph.D. candidate at Xi’an University of Architecture and Technology, and an associate professor at Xi’an Technological University. Her research interests include rough set, complex network, operation research and cybernetics, management decision analysis and game theory, etc.
曹黎侠（1971—），女，陕西西安人，西安建筑科技大学博士研究生，西安工业大学副教授，主要研究领域为粗糙集，复杂网络，运筹学与控制论，管理决策分析及博弈论等。
HUANG Guangqiu was born in 1964. He received the Ph.D. degree from Northeast University. Now he is a professor and Ph.D. supervisor at Xi’an University of Architecture & Technology. His research interests include e-business and network security, information management, systems engineering, complex system simulation and control, decision optimization and management, etc. He has completed 76 research projects including the national key scientific research projects, the national natural science foundation projects, provincial and ministerial level research projects, etc. He has published more than 200 papers and 6 works.
黄光球（1964—），男，博士，西安建筑科技大学教授、博士生导师，主要研究领域为电子商务与网络安全，信息管理，系统工程，复杂系统仿真与控制，决策优化与管理等。共完成科研课题76项，其中包括国家“七五”、“八五”、“九五”重点科研项目3项，国家自然科学基金项目2项；在国内外重要期刊和会议上发表学术论文200多篇，出版著作6部。
Abstract:There is at least one mixed strategy Nash equilibrium in continuous game, but there are little related research results in existing literature about infinite mixed strategy Nash equilibrium and uncertainty game problem. The uncertainty game refers to the game equilibrium problem that the players’strategy set or benefit function are uncertainty. This paper creates an approximation algorithm of infinitely mixed strategy Nash equilibrium, using the advantages of particle swarm optimization, fewer parameters, simple coding and not strictly required to objective function. This paper also proposes the concept of rough game theory, and gives a method converting rough game to a classic game theory based on rough set and vague set theory. This paper provides a theoretical basis for game problem when the strategy sets and benefit function problem are fuzzy. The examples show that the approximation algorithm of infinite mixed strategy Nash equilibrium based on improved particle swarm algorithm and rough game theory solution are feasible and effective.
Key words:rough set; particle swarm optimization; mixed strategy Nash equilibrium; Vague set
文献标志码：A
中图分类号：O225
doi:10.3778/j.issn.1673-9418.1507080
