基于Morlet小波分析的嘉陵江流域年径流周期研究

牟 萍，杨胜发，童思陈

(重庆交通大学 国家内河航道整治工程技术研究中心，重庆 400074)

基于Morlet小波分析的嘉陵江流域年径流周期研究

牟 萍，杨胜发，童思陈

(重庆交通大学 国家内河航道整治工程技术研究中心，重庆 400074)

为揭示嘉陵江流域年径流序列的周期变化特征，基于嘉陵江北碚站共计59年(1954—2012年)的实测径流资料，采用Morlet小波函数对其年径流序列进行了多时间尺度变化特性分析。结果表明:北碚站年径流存在4，14，44年左右尺度的周期变化特征，其中44年尺度的周期包括2个丰-枯变化过程，其小波系数对应着最大峰值，为流域年径流变化的第1主周期；14年尺度的周期包括6个丰-枯交替循环变化过程，其小波系数对应的峰值次之，为第2主周期；与第1、第2主周期相比，4年尺度的变化峰值很小，属于小波动，即嘉陵江流域年径流在整个统计时间域内的变化由第1、第2主周期控制。

水利工程；年径流；Morlet 小波；小波方差

径流的形成过程受多种因素的综合影响，如大气环流、下垫面条件、人类活动等，既有确定性因素，又有偶然因素，因此径流序列的变化十分复杂，常常表现出不确定性、非平稳性和非线性的特征[1]。然而，在某一特定的相对长的历史时期，大气环流是影响年径流多年变化的主要因素，而大气环流受太阳活动的制约，研究表明太阳活动具有一定的循环周期，因此年径流的多年变化也可能存在隐含的近似周期[2]。

小波分析是一种信号的时间尺度分析方法，在时域和频域上均具有良好的局部化特征和多分辨功能[3]，被广泛用于水文时间序列的周期性和趋势性分析[4]。Morlet小波是小波函数的一种，已有学者[5-10]用其研究水文时间序列的周期性和趋势性。

嘉陵江是长江上游的一级支流，嘉陵江流域的年径流丰枯变化对长江年径流有重要的影响，基于嘉陵江流域年径流周期性特征的研究，对了解长江流域年径流特征，合理规划长江流域水资源利用方案，降低洪水灾害风险具有重要意义。侯保俭等[11]对嘉陵江径流的趋势进行了研究，为揭示嘉陵江流域年径流序列的周期性特征，笔者采用Morlet小波变换法对北碚站年径流的周期进行了分析。

1 基本资料

嘉陵江是长江上游的主要支流之一，发源于秦岭北麓的宝鸡市凤县，流经陕西、甘肃、四川、重庆四省(直辖市)，在重庆主城区汇入长江，全长1 120 km，流域面积近16万km2，是长江支流中流域面积最大，长度仅次于汉江，流量仅次于岷江的河流。嘉陵江流域径流量的丰、枯变化对长江上游的径流，尤其是寸滩站径流特征有较大影响。三峡水库蓄水后，嘉陵江流域的来水来沙直接影响三峡水库的入库水沙条件。

北碚水文站位于重庆市北碚区，该站建于1939年，距河口里程约54.6 km，为嘉陵江流域出口控制站，控制嘉陵江15.67万km2的广大地区，约占嘉陵江流域面积的98%。笔者收集了北碚站1954—2012年的实测共计59年的年径流序列资料，如图1。

图1 北碚站年径流序列(1954—2012年)Fig.1 Annual runoff series from 1954 to 2012 at Beibei gauging station

由于观测、测量技术的限制，有记录的实测年径流系列是有限的，在年径流序列两端很可能会产生“边界效应”，为减小这种边界效应，目前在小波分析中最常用的处理方法是在其两端数据进行对称延伸[7]。笔者采用对称延伸，即在北碚站年径流数据的两端分别对其对称性延伸1倍长度，借助MATLAB小波工具箱信号延伸(Signal Extension)功能来实现。

为减少水利工程建设、城市化进程[12]等人类活动对年径流序列的影响，对年径流序列进行标准化处理，如式(1)。

(1)

2 Morlet小波分析

常用的小波函数有Morlet小波、Harr小波和MexHat小波[13]，由于径流演变的过程具有“多时间尺度”的连续变化特征，笔者借鉴刘素一等[14]的研究成果，选取Morlet小波。它是一种连续的复数小波，其变化系数包括实部、虚部两个变量，实部表示信号在不同时间位置上的分布和相位信息，用来区分不同特征的时间尺度信号；小波变换系数的模反映了特征时间尺度信号的强弱程度[3]。用Morlet小波系数对年径流时间序列进行分析时，能够同时反映年径流变化的时间尺度和出现变化的时间位置，以及时间尺度信号的强弱[15]。小波分析涉及小波函数和小波变换两方面。

2.1 小波函数

小波函数指的是具有震荡特性，在有限的区域内能够迅速衰减到0的一类函数ψ(t)[5]:

(2)

ψ(t)也称为基小波，其伸缩和平移构成一簇函数系：

(3)

式中：ψa,b(t)为子小波；a为尺度因子，反映了小波的周期长度；b为时间因子，反映了在时间上的平移。

2.2 小波变换

对于给定的Morlet小波和水文时间序列f(t)，其连续小波变换为[5,16]：

(4)

由于在实际应用分析时，连续序列很难用数字符号表达，因此经常将连续的时间序列离散化。水文时间序列亦如此，常取过程状态的总量、平均值或极值作为时间序列的值，如降水量、水位、径流量等[17]。

小波变化的离散形式为[11]：

(5)

显然，Wf(a,b)随参数a和b变化。由于Morlet小波是复数形式，所以变换后的系数亦为复数，取小波系数的实部，以b为横坐标，a为纵坐标所作的关于Wf(a,b)的二维等值线图，即小波系数实部等值线图。

在尺度a相同情况下，小波变换系数随时间的变化过程反映了水文时间序列在该尺度下的变化特征：小波变换系数为正时对应于偏多期；小波变换系数为负时对应于偏少期；小波变换系数为0对应着由偏少期向偏多期或由偏多期向偏少期的过渡[11]。

根据C.TORRENCE等[18]导出的关系，Morlet小波尺度a与周期T有如下对应关系：

(6)

式中:c为无维度的频率，为了满足Morlet小波函数的容许性条件，据C.TOTRENCE等的研究，取c=6。

小波方差[19-20]公式为：

(7)

离散形式为：

(8)

式中:Var(a)为小波方差；N为年径流系列的长度；Wf(a,xt)为尺度a、时间xt处的小波系数的平方，对于复系数则为系数模的平方。

3 嘉陵江流域年径流的小波分析

根据上述小波分析方法对延伸后标准化的年径流序列进行Morlet小波变换，计算小波系数Wf(a,b)，保留原年径流序列时段内的小波系数。通过小波系数及小波方差对嘉陵江流域年径流的周期进行分析和检验。

3.1 年径流周期分析

取小波系数Wf(a,b)的实部，以年份为横坐标，时间尺度为纵坐标绘制小波系数实部等值线图，为了使小波系数图清晰，便于观察，将小波系数扩大1 000倍(下同)，如图2。小波系数的变化特征可以用来表征年径流的变化特征。当小波系数实部为正数(实线)时，代表年径流丰水期；小波系数为负数(虚线)时，代表年径流枯水期；小波系数实部为0时，代表年径流量由丰水期向枯水期或者由枯水期向丰水期的转折点。

图2 北碚站年径流Morlet小波系数实部等值线Fig.2 Contour map of real part of annual runoff Morlet wavelet transform coefficients at Beibei gauging station

为了清楚的了解年径流的变化规律，用颜色的深浅来表示年径流量的大小，颜色越深，年径流量越大；颜色越浅，年径流量越小(图2)。可以看出，北碚站年径流量存在18～64 年、8～17年、3～7年左右的3类时间尺度的演变规律，其中在18～64年时间尺度上，年径流经历了枯→丰→枯→丰→枯→丰6个交替变化过程，且最前枯水期和最后丰水期的等值线未闭合，说明1954年之前可能为枯水期，2012年后可能还存在丰水期；在8～17年时间尺度上存在丰→枯→丰→枯→丰→枯→丰→枯→丰→枯→丰→枯12个丰枯交替变化过程，并且这两个尺度的周期变化在整个研究时段表现得比较稳定；而3～7年尺度的周期，周期性变化较小。

从位相结构上看，在18～64年时间尺度上，1954—1960年为枯水期，1960—1970年为丰水期，1970—1980年为枯水期，1980—1993年为丰水期，1993—2004年为枯水期，2005—2012年为丰水期，且2005年以后，等值线未闭合，说明2012年以后可能还存在连续几年的丰水期。在8～17年时间尺度上，1954—1956年、1963—1968年、1973—1975年、1980—1985年、2009—2012年为丰水期、1989—1993年，1957—1962年、1969—1972年、1976—1979年、1986—1988年、1994—2008年为枯水期。

图3 北碚站年径流Morlet小波系数模等值线Fig.3 Module contour map of annual runoff Morlet wavelet transform coefficients at Beibei gauging station

从图3可知，在嘉陵江流域径流演化过程中，18～64年的时间尺度所对应的能力密度最大，中心时间尺度为44年左右，主要发生在20世纪70年代以后，说明在该时间尺度上周期变化最明显；8～17年时间尺度所对应的能量密度次之，中心时间尺度为14年左右，主要存在于20世纪70年代—90年代。

3.2 年径流主周期检验

小波方差图能够反映年径流时间序列的波动幅度随尺度a的分布情况，可用来辨识时间序列中各种尺度的扰动强度程度和周期变化特征[15]，从而确定年径流演化过程中存在的主周期。

根据式(8)计算北碚站年径流序列的小波方差，并以时间尺度a为横坐标，以小波方差值为纵坐标作小波方差图(图4)。

图4 北碚站年径流Morlet小波系数方差Fig.4 Morlet wavelet variance of annual runoff at Beibei gauging station

由图4可知，小波方差图中存在3个较为明显的峰值，依次对应着4，14，44年的时间尺度。其中，44年左右的时间尺度对应着最大峰值，说明44年左右的周期震荡最强，为流域年径流变化的第1主周期；14年左右的时间尺度对应着第2大峰值，为流域年径流变化的第2主周期；4年左右的时间尺度对应着第3峰值，但与第1、第2峰值相比，峰值很小，属于小波动，可以忽略。嘉陵江流域年径流在整个时间域内的变化主要由第1、第2主周期控制。

3.3 主周期分析

根据小波方差检验的结果，14年和44年左右的时间尺度为第1主周期和第2主周期，绘制第1、第2主周期所对应的小波系数实部过程线图(图5)。

图5 北碚站年径流变化的14，44年时间尺度小波实部Fig.5 Real part of annual runoff wavelet transform coefficients at Beibei gauging station in 14 a and 44 a

从主周期小波系数实部过程线图中我们可以分析出在不同的时间尺度下，流域年径流存在的平均周期和丰、枯变化特征。由图5可知，在14年特征时间尺度上，流域年径流变化经历了由丰到枯的交替循环变化过程，大约为6个周期，周期T≈10年，与上述由小波系数实部图分析的流域年径流在8～17年时间尺度上存在12个丰枯交替变化的过程一致；而在44年特征时间尺度上，年径流经历了约2个周期的丰-枯变化过程，周期T≈30 年。

在44年时间尺度上的第1个枯水期中，包含着14年时间尺度上的2个丰水期和1个枯水期；在44年时间尺度上的第1个丰水期中，包含着14年时间尺度上的1个丰水期和2个枯水期；在44年时间尺度上的第2个枯水期中，包含着2个丰水期和1个枯水期。上述现象验证了嘉陵江流域年径流序列存在着多时间尺度特征，且小时间尺度被包含于大时间尺度中，大时间尺度的丰枯结构中嵌套着小时间尺度的丰枯变化规律。

4 结 语

笔者采用Morlet小波分析法对北碚水文站1954—2012年共计59年的年径流量序列进行了小波变换，结果表明：北碚站年径流量存在18～64年、8～17年、3～7年左右的3类时间尺度的演变规律，其中心分别对应着44年、14年和4年。利用小波方差对其进行检验，44年的时间尺度所对应的能量密度最大，为第1主周期；14年的时间尺度所对应的能量密度次之，为第2主周期；4年的时间尺度所对应的能量密度最小，较前两者可忽略不计。因此，嘉陵江流域年径流在整个时间域内的变化主要由第1、第2主周期控制。

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Periodical Analysis on Annual Runoff in Jialing River BasinBased on the Morlet Wavelet Analysis

MU Ping, YANG Shengfa, TONG Sichen

(National Engineering Research Center for Inland Waterway Regulation, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, P.R.China)

Based on the measured data of annual runoff series of 59 years from 1954 to 2012 in Beibei gauging station, the multi-time scale characteristics of runoff was analyzed by using Morlet wavelet to study the periodic variation of Jialing River basin. The results show that there are 4-year, 14-year, and 44-year period changes of the annual runoff of Beibei gauging station. The scale of 44-year period with the maximum peak has two cycles from the wet season to the dry season, which is the first major period of runoff series in Jialing River Basin, and the scale of 14-year period is the second major period, which has six cycles from the wet season to the dry season and whose Morlet wavelet coefficients are also secondary. Compared with the former two major periods, the change of peak value of 4-year period is small, which belongs to small fluctuations and means that the change of annual runoff in Jialing River basin is mainly affected by the first and second major periods.

hydraulic engineering; annual runoff; Morlet wavelet; wavelet variance

2015-01-23；

2015-04-17

国家科技支撑计划项目(2012BAB05B03)；重庆市科委自然科学基金项目(CSTC 2011 JJA30002)；重庆市教委项目(KJ1400319)

牟 萍(1986—)，女，山东德州人，博士研究生，主要从事水沙动力学与航道工程方面的研究。E-mail：mpdream2012@163.com。

10.3969/j.issn.1674-0696.2016.01.15

TV213.9

A

1674-0696(2016)01-076-04