高阶变系数函数方程解的振动准则

吴英柱

(广东石油化工学院数学系,茂名 525000)



高阶变系数函数方程解的振动准则

吴英柱*

(广东石油化工学院数学系,茂名 525000)

摘要：利用反复迭代的思想方法，讨论了一类高阶变系数函数方程

解的振动性，给出了这类函数方程一切解振动的几个充分条件：如果存在整数n≥0，使得

则上述方程的一切解振动；如果存在一个整数n≥0，使得

则上述方程的一切解也振动. 并且给出了该方程在差分方程中的若干应用.

关键词：高阶; 函数方程; 非线性; 振动

高阶函数方程的振动性研究受到研究者的关注[1-16]．周勇等[7-8]、戴丽娜等[15]研究了方程

和

x(g(t))=p(t)x(t)+

得到了一系列结果．

在此基础上，本文沿用文献[7]和文献[15]的方法，研究了高阶非线性变系数函数方程

x(g(t))=p(t)x(t)+

(1)

的振动性，其中函数p,Qi(i=1,2,…,m)：I→+=(0,∞)，I⊂(0,∞)，I是+上的一个无界子集；g：I→I且g(t)不恒等于∞.定义gi为g的i次迭代，即g0(t)=t,gi+1(t)=g(gi(t))，t≥t0,i=0,1,2,…,tI.kj≥1为正整数，aj为非负实数，j=1,2,…,s且.

1振动准则

如果函数x:I→使得sup{|x(s)|:sIt0=[t0,∞)∩I}>0对任何t0(0,∞)成立，且对tI满足方程(1)，则称其为方程(1)的一个解．这样的解称作是振动的，如果存在一列点I，使得且x(tn)·x(tn+1)≤0，对n=1, 2, …成立，否则称为非振动的．

定理1如果存在整数n≥0，使得

(2)

则方程(1)一切解振动．

x(g(t))≥p(t)x(t),

(3)

(4)

把式(4)代入方程(1)得

x(g(t))≥p(t)x(t)+

(6)

由式(6)可得

x(g(t))≥p1(t)x(t)，

(7)

(8)

同样对x(g(t))≥p1(t)x(t)进行迭代，可得

代入方程(1)，可得

x(g(t))≥p(t)x(t)+

反复迭代，可得

x(g(t))≥p(t)x(t)+

推论1假设

(9)

其中β是方程

(10)

的最大正实根，则方程(1)的一切解振动．

证明设x(t)>0是方程(1)的非振动解，由定理1，有p1(t)≥p(t)/(1-A)，则

因此，

(11)

当K=1时，方程(10)为β2-β+A=0,可得：

推论2当A<1/4，且

时，方程(1)的一切解振动．

所得结论实质改进了文献[11]187的定理3.1．

(12)

则方程(1)的一切解振动．

(13)

同理，由方程(1)可得：

x(g2(t))=p(g(t))x(g(t))+

(14)

类似前面的证明，对x(g2(t))≥p(g(t))x(g(t))进行kj+i次迭代，有

(15)

把式(13)和式(15)代入式(14)可得

x(g2(t))≥

这与条件(12)相矛盾，故不存在非振动解，则方程(1)的一切解振动．

注1不难看出定理2实质上改进了文献[8]416中定理2的结果；由定理2可知，若

2应用

由于方程(1)以离散变量的差分方程和具连续变量的差分方程作为其特殊情形.对于g(t)=t-，+,I=+的情形，方程(1)化为具连续变量的差分方程：

x(t-)=p(t)x(t)+).

(16)

由定理1和定理2，可得

定理3假设p(t)>0，Qi(t)≥0，且下列条件之一成立

其中n≥0为整数．

同理，考虑无穷时滞的差分方程

(17)

易得:

定理4假设p(t)>0，Qi(t)≥0，且下列条件之一成立

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【中文责编：庄晓琼英文责编：肖菁】

Oscillation Criteria of Solutions to Higher Order Variable Coefficient Functional Equations

WU Yingzhu*

(Department of Mathematics, Guangdong University of Petrochemical Technology,Maoming 525000, China)

Abstract：By utilizing iterative method, oscillation of solutions to high-order variable coefficient functional differential equations of the formajsgn x(gkj+i(t)) is discussed. When n≥0, n is an integer, andaj>1(tI), all the solutions of the above equations are oscillation. When n≥0, n is an integer, and

all the solutions of the above equations are oscillation. Some sufficient conditions for these equations are established. Some applications in difference equations are given.

Key words：higher-order; functional equations; nonlinear; oscillation

中图分类号：O175.1

文献标志码：A

文章编号:1000-5463(2016)02-0107-04

*通讯作者:吴英柱，讲师，Email：wuyingzhu1978@163.com.

基金项目：国家自然科学基金项目(1127380);茂名市科技计划项目(2014050);广东石油化工学院自然科学研究基金项目(513021)

收稿日期：2015-07-01《华南师范大学学报(自然科学版)》网址：http://journal.scnu.edu.cn/n