随机时滞BAM神经网络的全局散逸性

马　婧, 张启敏

(宁夏大学数学计算机学院, 银川 750021)



随机时滞BAM神经网络的全局散逸性

马婧, 张启敏*

(宁夏大学数学计算机学院, 银川 750021)

摘要：把不确定性因素考虑到双向联想记忆神经网络(BAM)中, 得到一类带Brown运动的随机时滞双向联想记忆神经网络(BAM)模型. 在激活函数有界的条件下, 研究了随机时滞BAM神经网络的全局散逸性. 通过Lyapunov泛函、Jensen不等式和It 公式等, 讨论了随机时滞BAM神经网络系统均方散逸的充分条件, 给出了该系统散逸的吸引集. 通过数值例子对所给出的结论进行了验证.

关键词：随机时滞BAM神经网络； 均方散逸； 吸引集； Lyapunov泛函

考虑如下随机时滞BAM神经网络模型:

(1)

目前主要研究了模型(1)的稳定性问题：具有时滞的随机BAM神经网络的指数稳定性[1]；具有时滞和脉冲的BAM 神经网络周期解的全局稳定性[2]；具有时变脉冲的BAM神经网络的全局渐进稳定性[3].但是在现实情况中, 有的BAM神经网络的轨迹并不会接近于一个平衡点, 而是在某个时刻进入一个有限的区域并一直保持在里面, 即散逸性. 因此, 有必要研究BAM神经网络模型的散逸性.

对于确定的模型(1)(即σij(t,x,y)=0), TU等[4]研究了一类变时滞BAM神经网络的全局散逸性；WANG和ZHANG[5]讨论了具有时变时滞和连续分布时滞的BAM 神经网络的全局散逸性. 然而，在神经网络的运行过程中却存在着许多不确定因素, 就神经网络系统本身而言, 神经元的反应也是随机的, 神经元在重复接收相同刺激时, 反应也是不同的, 小的噪声干扰往往就能破坏整个神经网络的稳定性, 这种小的干扰可以被布朗运动的导数所描述. 意味着研究具有噪声干扰的BAM神经网络意义大, 更符合实际情况.本文在激活函数有界的条件下, 通过构造Lyapunov 泛函, 给出了随机BAM 神经网络散逸的充分条件.

1预备知识

令Rn和Rn×m分别表示n维Euclidean空间和n×m阶矩阵的集合.X>0表示实对称正定矩阵. In表示n×n的单位矩阵. 对一个矩阵A,min(A)(max(A))表示矩阵A的最小(最大)特征值. 令>0,C([-,0];Rn)表示连续函数φ的全体, 且其范数定义为:‖φ‖=sup|φ(s)|, 其中|.|是Rn的Euclidean范数. 令(Ω,,{t}t≥0,P)是完备的概率空间, 其域流{t}t≥0满足通常的条件(左极限是右连续的, 并且F0包含所有的零测度集).C1,2(+×Rn;+)表示所有非负连续函数V(t,x)在+×Rn上的集合.V(t,x)对t可导, 对x二阶可导.

为了方便讨论, 将模型(1)表示成矩阵形式:

(2)其中:x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T, y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T,D=diag(d1,d2,…,dn);C=diag(c1,c2,…,cn);A=(aij)n×n,B=(bij)n×n, R=(rij)n×n, S=(sij)n×n,u=(u1,u2,…,un)T, v=(v1,v2,…,vn)T,ω(t)=(ω1(t),ω2(t),…,ωn(t))T, σ(t,x(t),x(t-))=(σij(t,x(t),x(t-)))n×n,σ(t,y(t),y(t-β))=(σij(t,y(t),y(t-β)))n×n,f(y)=(f1(y),f2(y),…,fm(y)),n(x)).

为了得到证明结果, 需要以下的假设、定义和引理.

f(y)=(f1(y),f2(y),…,fm(y))

和

假设2[2]263存在矩阵 H1≥0,H2≥0, 满足

trace[σT(t,x(t),x(t-))σ(t,x(t),x(t-))]≤

xT(t)H1x(t)+xT(t-)H2x(t-).

引理1[5]252线性矩阵不等式

(i) S22<0, S11-S12(S22)-1(S12)T<0；

(ii) S11<0, S22-(S12)T(S11)-1S12<0.

通常的随机系统dx(t)=g(t,x(t))dt+σ(t,x(t))dω(t),其中ω(t)是定义在完备概率空间(Ω,,P)上的n维布朗运动, g(.),σ(.):+×Rn→Rn.定义如下算子L:

L V(t,x)=Vt(t,x)+Vxg(t,x)+

2主要结论

(P0≤ρ1I),

(Q0≤ρ2I),

(4)

证明考虑如下Lyapunov函数

(6)

(7)

dV1=L V(t,x(t))dt+

2xT(t)P0σT(t,y(t),y(t-))dω(t),

(8)

dV2=L V(t,y(t))dt+

2yT(t)Q0σT(t,x(t),x(t-β))dω(t).

(9)

则L V1=2xT(t)P0[-Dx(t)+Af(y(t))+

Bf(y(t-))+u]+yT(t)P1y(t)-

yT(t-)P1y(t-)+fT(y(t))P2f(y(t))-

fT(y(t-))P2f(y(t-))+

trace(σT(t,y(t)y(t-))P0σ(t,y(t),y(t-))),

trace(σT(t, x(t)x(t-β))Q0σ(t, x(t), x(t-β))).

由假设1得到:

fT(y(t))f(y(t))≤yT(t)LTLy(t),

根据定理中的已知条件和引理1得到:

L V1≤-xT(t)(1-θ)(DP0+P0D)x(t)+

2xT(t)P0u-θxT(t)(DP0+P0D)x(t)+

2xT(t)P0[Af(y(t))+Bf(y(t-))]+

yT(t)P1y(t)-yT(t-)P1y(t-)+

fT(y(t))P2f(y(t))-fT(y(t-))P2f(y(t-))+

ρ1yT(t)H1y(t)+ρ1yT(t-)H2y(t-)+

γ1[yT(t)LTLy(t)-fT(y(t))f(y(t))]≤

-xT(t)(1-θ1)(DP0+P0D)x(t)+εxT(t)x(t)+

(10)

以式(10)相同的方法得到：

L V2≤-yT(t)(1-θ2)(CQ0+Q0C)y(t)+

(11)

所以

L V=L V1+L V2≤-xT(t)Φ1(x(t))+

ε-1|P0u|2-yT(t)Φ2(y(t))+μ-1|Q0v|2,

(12)

其中

ξ(t)=(x(t)f(y(t))f(y(t-))y(t)y(t-))T,

Φ1=(1-θ1(DP0+P0D)-εI),

Φ2=(1-θ2(CQ0+Q0C)-μI).

由期望的性质和Jensen不等式得到:

dEV(t)=EL V(t)dt≤[-(min(Φ1)E|x|2+

ε-1|P0u|2+μ-1|Q0v|2]dt<0,

(13)

EV(t,x(t),y(t))=EV(t0,x(t0),y(t0))+

(14)

另一方面

EV(t,x(t),y(t))≥min(P0)|Ex(t)|2+

(15)

(17)

相应的吸引集为:

证明考虑如下Lyapunov函数

(20)

(21)

类似定理1的证明即可证明推论2.

3例子

通过以下的例子对给出的结论进行验证.考虑二阶随机BAM神经网络模型(2), 其中

取如下激活函数:

f1(y1)=tanh(-0.02t),

f2(y2)=tanh(-0.02t),

f1(y1(t-))=tanh(-0.14t),

f2(y2(t-))=tanh(-0.08t),

H1=0.04I, H2=0.04I.然后, 令ε=0.3,μ=0.6,通过MATLAB中的线性矩阵不等式工具箱, 计算线性矩阵不等式(3)、(4), 得到:

4小结

引入了一类随机时滞BAM神经网络系统，讨论了随机时滞BAM神经网络系统的均方散逸问题.该随机模型较确定性模型更符合实际，能更好地反应神经网络的特性，在引入布朗运动的基础上，运用Lyapunov泛函、随机微分方程基本理论，建立了随机时滞BAM神经网络系统散逸的充分条件，所得到的结论为随机微分方程的应用提供了理论依据.

图1　t=500时的随机BAM神经网络散逸性的数值模拟

图2　t=300时的随机BAM神经网络散逸性的数值模拟

参考文献：

[1]SUN G, ZHANG Y. Exponential stability of impulsive stochastic BAM neural networks with time-varying delay[J]. Neurocomputing, 2014, 131: 323-330.

[2]WANG F, SUN D. Global exponential stability and periodic solutions of BAM neural networks with time delays and impulses[J]. Neurocomputing, 2015, 155: 261-276.

[3]SAYLI M, YILMAZ E. Global robust asymptotic stability of variable-time impulsive BAM neural networks[J]. Neural Networks, 2014, 60: 67-73.

[4]TU Z W, WANG L W,ZHA Z W. Global dissipativity of a class of BAM neural networks with time-varying delays and unbounded delays[J]. Communication in Nonlinear Science & Numerical Simulation, 2013, 18: 2562-2570.

[5]WANG L S, ZHANG L. Global dissipativity of a class of BAM neural networks with both time-varing and continuously distributed delays[J]. Neurocomputing, 2015, 152: 250-260.

[6]WANG Y, XIE L. Robust control of a class of uncertain nonlinear systems[J]. Systems & Control Letters, 1992, 19: 141.

【中文责编：庄晓琼英文责编：肖菁】

Global Dissipativity for Stochastic BAM Neural Networks with Time Delay

MA Jing, ZHANG Qimin*

(School of Mathematics and Computer Science, Ningxia University, Yinchuan 750021, China)

Abstract：Considering the randomness, which is one of the uncertain factors in the bidirectional associative memory(BAM) neural networks system, it is obtained that a class of stochastic bidirectional associative memory(BAM) neural networks with time delay and Brownian motion. Under the condition of the bounded activation function of the equation, it discusses the global dissipativity for stochastic bidirectional associative memory (BAM) networks with time delay. By using Lyapunov functions, Jensen’s inequality and It’s formula,it provides the sufficient condition for the global dissipativity in the mean square of such stochastic bidirectional associative memory (BAM) neural networks;it also gives the attractive set of the system. Finally, the numerical example is provided to demonstrate the effectiveness of the conclusion. The conclusion is a generalization of the existing literature in the paper.

Key words：stochastic BAM neural networks; global dissipativity in mean; attractive set in mean; Lyapunov functions

中图分类号：O193

文献标志码：A

文章编号:1000-5463(2016)02-0096-06

*通讯作者:张启敏，教授，Email:zhangqimin64@sina.com.

基金项目：国家自然科学基金项目(11261043,11461053)

收稿日期：2015-06-09《华南师范大学学报(自然科学版)》网址：http://journal.scnu.edu.cn/n