初中数学动点问题的解题策略

王妮妮（大连市107中学　辽宁大连　116106）



初中数学动点问题的解题策略

王妮妮
（大连市107中学辽宁大连116106）

摘要：动点问题通常会将一个大主题细化成若干个小问题，由浅入深，层层递进，该题型有助于培养学生运用动态思维去分析问题、解决问题的能力。在解决动点问题时，首先必须把握好"动中有静"的解题思想，通过动中求静、确定问题中的不变关系，动静互化，把握运动中的特殊位置，以动制动，建立图形中变量的函数关系，进而探索出解决问题的方法。

关键词：初中数学动点问题解题策略

动点问题是用“运动和变化”的眼光去观察和研究问题，挖掘运动和变化的全过程。要求学生要有扎实的基础知识，较好的阅读理解能力以及较强的数学建模能力。解决动点问题一般需要经历观察、思考、画图、推理、反思等实践活动，需要去观察、分析、概括所给的问题，找出其中不变的量和相等关系，揭示它的数学本质，并且转化为我们熟悉的数学问题，从而解决问题。因其“综合性强，知识点多，对能力要求高”的特点，它为考查初三不同层次学生的学习情况和思维水平提供了平台。

1．注重对学生思维能力的培养

动点问题条件往往不少，在教学中不能就题论题，要引导学生逐步地分解问题，并归纳到解题步骤中去，题目中给出的条件是什么意思，对应着哪个步骤，对每一个步骤中出现的，我们可以运用学过的什么知识去解题，只有分析透彻了，下次学生遇到别的题目才能学着按照步骤去分析，才能避免出现“眉毛胡子一把抓”，不知道题目里出现的条件派什么用场的情况；数学的分类讨论其实是思维深刻性的体现，教师在教学中对根据什么分类，分类标准是否明确，还有没有更好的分类方法，讨论要尽可能地深入，不能点到为止，为以后的学习带来隐患。

2．注重学生阅读能力的培养

数学的阅读能力是一种很重要的数学能力，对于解决问题是有首当其冲的关键作用。在平时的数学教学中，一般都是教师讲，学生很少有时间去阅读课本和相关资料，以至于有的学生看到文字就头晕，就怕做或不做。所以，在教学中，加强数学阅读的教学安排就显得很有必要。另外，加强数学阅读对学生自主学习也很有好处。

3．注重运用计算机辅助教学

在“动点问题”的教学中，因为动点问题比较抽象，学生不容易进行想象，教师往往用计算机来辅助教学。如，“几何画板”模拟图形的运动，也有缺点，因为我们不可能时刻都带着计算机，而且用了计算机，学生只是看明白了,下次自己做还是不能够合理分析。所以，在教学中，要用计算机，但要适当使用，最终还是要有要学生脱离计算机，关键还是学生要学会分类作图。

如图1，A（0，2），B（2，0），C（2，2），线段OB上有一动点P，在直角坐标系的第一象限内以P为边长作正方形APQR，试判断三角形ACR的形状，并说明理由。

图1　

解析：此题易证△AOP≌△ACR（SAS），即∠ACR=∠AOP=90°，故ACR是直角三角形。在教学中可继续问学生：在点P从原点O运动到点B的过程中，线段AP的数量大小如何变化？正方形APQR的大小如何变化？点R的位置如何变化？如果学生能答出以下结论，才算是该问题弄明白、想透彻了。从原点O运动到点B的过程中，线段AP的长度越来越长；正方形APQR逐渐变大；点R的位置在直线CB上，且从点C逐渐向上运动到（2，4）。这一运动过程中始终不变的是∠ACR=90°。

如图2，上题中如果点P运动越过点B，在线段OB的延长线上运动，若点P（m，0），试求线段BQ所在直线的解析式。

图2　

解析：此问易证△AOP≌△PTQ（AAS），

∴PT=AO=2，QT=OP=m；

∵P（m，0）∴OP=m，BP=m-2

∴BT=m-2+2=m，∴BT=QT，∴∠QBT=45°

∴BQT是等腰直角三角形，

∴易求线段BQ所在直线的解析式是：y=x-2

这一问题中随着点P越过点B向右运动，正方形APQR逐渐变大，但是蚁QBT始终是45°，点Q在定直线y=x-2上运动。

例3，

①当点E在CD上运动时，如图3。分别过点A、D作AF上BC于点F，DH上BC于点H，则四边形ADHF为矩形，且AABF—ADCH，从而FH=AD=75，于是BF=CH=30。∴DH=AF=40。又QC=3t。从而QE=QC· tanC=3t·DH，CH=4t．∴s=SQCE=1／2QE·QC=6t2；

②当点E在DA上运动时，如图4。过点D作DH上BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC—CH=3t一30。

∴S=S0CDE=1／2（ED+QC）DH=120t-600。

评析：主要考查学生分类讨论的思想，对用含有t的代数式表示线段的要求有了进一步的提高。

4．动点问题的解题关键是：在运动过程中找出变化的量与不变的量

1）解决动点问题的解题方法

动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量或不变关系，动中觅静就是在图形的运动变化中探求问题中的不变量。

动静互化：有些问题是求最值或者形成的特殊几何图形，其实就是在运动变化的过程中，动点在某些特殊位置形成的特殊图形或特殊的数量关系。动静互化就是抓住静的瞬间，把一般问题转化成为特殊情况，从而找到“动”和“静”的关系。

2）解决动点问题的基本步骤

结束语

总之，动点问题综合性强，知识点多，对能力的要求也高，既有助于系统地考查和分析学生数学学习中遇到的困难以及产生困难的原因和学生的能力缺陷，又有助于培养学生观察问题、分析问题、分类讨论的能力以及发散思维能力，提高学生运用所学的数学知识解决实际问题的能力。教师在引导学生解决动点问题时，要引导学生主动观察、分析、概括、推理所给的问题，从中找出隐含的不变量和变量关系，把握运动中的某些极端位置和特殊位置，进而揭示问题的数学本质，并将其转化成熟悉的数学问题，使问题得到有效地解决。

参考文献：

[1]王中文。初中数学动点问题的解题策略卟读与写：教育教学刊，2012

[2]吕小利。关于初中数学解题策略的探讨卟数理化学习，2011

王妮妮，辽宁师范大学数学学院2014教育硕士

作者简介：