一类二次可逆中心的周期函数的单调性

吴奎霖

(贵州大学 数学系, 贵州 贵阳 550025)

一类二次可逆中心的周期函数的单调性

吴奎霖

(贵州大学 数学系, 贵州 贵阳 550025)

研究一类二次可逆中心周期轨道的周期单调性问题.首先给出该类中心周期函数的Taylor级数表达式,再根据Taylor级数表达式判定其周期函数是单调的.

二次可逆中心； 周期函数； Lagrange-Bürmann逆定理

平面微分系统的一个奇点E称为一个中心,如果E的一个邻域全由围绕E的周期轨道组成,这样最大的邻域称为中心E的周期环域,记为P.对一般的解析可积平面微分系统

(1)

不妨假设原点O(0,0)是其一个中心,设H(x,y)是其首次积分.围绕O(0,0)的周期环域记为P:={γh:H(x,y)=h,h∈Σ},其中Σ为h的极大取值区间使得轨道γh:H(x,y)=h是系统(1)的周期轨道.则周期轨道γh的周期为

T(h):=∮Γhdt=

(2)

称函数T(h)为系统(1)的周期函数.周期函数T(h)的极值点称为系统(1)的临界周期.称中心O(0,0)是等时中心如果周期函数T(h)是一个常数,即T′(h)≡0.临界周期的个数问题在分支理论、Neumann问题有重要的应用.

(3)

如果B=0,A. Gasull[4]证明了系统(3)中心的周期函数是单调的.如果B≠0,系统(3)可简化为

(4)

文献[5-10]对系统(4)的临界周期个数问题做了很多工作,但至今仍没有解决Chicone关于系统(4)的相关猜想.

本文主要研究系统

(5)

表 1 系统(5)的奇点

其首次积分为

H(x,y)=(1-x)-2F(x2+y2).

1 主要结论及其证明

当F>1和F<0时,系统(5)有2个奇点:中心O:(0,0)和鞍点P:(1/(1-F),0),一条不变直线x=1.周期环域为

P:={γh:H(x,y)=h,

h∈Σ=(0,(F-1)2F-2/F2F)}.

周期轨道γh的周期T(h)为

(6)

为了更方便研究周期函数T(h)的性质,引入一个Abel积分A(h)

A(h)=2∮γh(1-x)-2F-1ydx,

(7)

则A′(h)=T(h).因此周期函数T(h)的临界周期个数由A″(h)的零点个数决定.对Abel积分(7)分部积分,则有

接下来尝试给出周期函数T(h)的级数表达式,根据级数表达式证明周期函数T(h)的单调性.做如下变换

z=(1-x)-Fx,Y=(1-x)-Fy,

(8)

则Abel积分(7)变为

(9)

设系统(5)的周期环域P在x-轴上的投影为(xl,xr),如果F>1,则

如果F<0,则

下面将用Lagrange-Bürmann逆定理计算Abel积分(7)的Taylor级数.为了方便,首先给出定理.

引理 1.1[12]设f,φ为一解析函数,在x=0的一个邻域内z=x/φ(x)解析,并且φ(0)≠0.则

下面运用Lagrange-Bürmann逆定理证明下面这个引理.

引理 1.2 如果F>1或F<0,则系统(5)的中心的周期函数是单调的.

证明 由Lagrange-Bürmann逆定理,则有下面级数表示

(10)

其中

an(F)=

级数(10)的收敛半径r为

如果F>1,则有

如果F<0,则有

当F>1或F<0时,Abel积分(9)可表示为

其中

故有

下面讨论F=0和F=1这2种情形.

引理 1.3 如果F=0或F=1,则系统(5)的周期环域所对应的周期函数是单调的.

证明 如果F=0,原点O:(0,0)是系统(5)的中心,x=1是奇异直线(即:奇异直线上的每个点都是系统(5)的奇点).此时系统(5)的首次积分为

H(x,y)=x2+y2.

周期环域为P:={γh:H(x,y)=h,h∈(0,1)}.周期环域为P在x-轴上的投影为(xl,xr)=(-1,1).周期函数(6)可表示为

这样就证明了当F=0时,系统(5)的周期环域所对应的周期函数是单调的.

如果F=1,1964年W. S. Loud[13]证明了系统(5)的中心是等时中心,即T′(h)≡0.综上所述,引理1.3得证.

由引理1.2和1.3,得到了该文的主要结论.

定理 1.1 如果F≥1或F≤0,则系统系统(5)的周期环域所对应的周期函数是单调的.

[1] CHICONE C. Review in MathSciNet, ref.94h:58072[J]. Math Rev,1994(h):58072.

[2] COPPEL W A, GAVRILOV L. The period function of a Hamiltonian quadratic system[J]. Differential Integral Equations,1993,6(6):1357-1365.

[3] ZHAO Y. The monotonicity of period function for codimension four quadratic systemQ4[J]. J Differential Equations,2002,185(1):370-387.

[4] GASULL A, GUILLAMON A, VILLADELPRAT J. The period function for second-order quadratic ODEs is monotone[J]. Qual Theory Dyn Syst,2004,4(2):201-224.

[5] VILLADELPRAT J. On the reversible quadratic centers with monotonic period function[J]. Proc Am Math Soc,2007,135(8):2555-2565.

[6] MANOSAS F, VILLADELPRAT J. The bifurcation set of the period function of the dehomogenized Loud’s centers is bounded[J]. Proc Am Math Soc,2008,136(5):1631-1642.

[7] ZHAO Y. The period function for quadratic integrable systems with cubic orbits[J]. J Math Anal Appl,2005,301(2):295-312.

[8] ZHAO Y. On the monotonicity of the period function of a quadratic system[J]. Discrete Contin Dyn Syst,2005,13(13):795-810.

[9] LIANG H, ZHAO Y. On the period function of reversible quadratic centers with their orbits inside quartics[J]. Nonlinear Anal,2009,71(11):5655-5671.

[10] LIANG H, ZHAO Y. On the period function of a class of reversible quadratic centers[J]. Acta Math Sin(Engl Ser),2011,27(27):905-918.

[11] LIU C. Limit cycles bifurcated from some reversible quadratic centers with nonalgebraic first integral[J]. Nonlinearity,2012,25(6):1653-1660.

[12] ABRAMOWITZ M, STEGUN I A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables[M]. New York:Dover,1972.

[13] LOUD W S. Behaviour of the period of solutions of certain plane autonomous systems near centers[J]. Contrib Differential Equations,1964,3(1):21-36.

2010 MSC：34C07; 34C08; 34C25

(编辑 周 俊)

Monotonicity for Period Functions of a Class of Quadratic Reversible Centers

WU Kuilin

(Department of Mathematics, Guizhou University, Guiyang 550025, Guizhou)

In this paper, we investigate the monotonicity of period function of periodic orbits for a class of quadartic reversible center. We firstly give the Taylor series expressions of the period function. Then, by the obtained Taylor series expressions of the period functions, we prove that the period function is monotone.

quadratic reversible centers; period function; Lagrange-Bürmann inversion theorem

2016-06-06

国家自然科学基金(11301105)和贵州省科学技术基金(黔科合J字[2015]2036号)

吴奎霖(1981—),男,副教授,主要从事微分方程与动力系统的研究,E-mail:wkuilin@163.com

O123.4

A

1001-8395(2016)06-0857-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.015