(n2，(n+1)2)中至少有一个素数的证明

戎士奎

(贵州师范学院　数学计算机科学学院，贵州　贵阳　550003)



(n2，(n+1)2)中至少有一个素数的证明

戎士奎

(贵州师范学院数学计算机科学学院，贵州贵阳550003)

摘要：证明(n2，(n+1)2)中至少有一个素数，是一个众所周知的数论难题(华罗庚1979，(美)阿尔伯特· H·贝勒1998)。本文用筛法先证明一个叫做筛不完原理的定理，使用筛不完原理证明了(n2，(n+1)2)中至少有一个素数。还给出素数在自然数中的概率为0的一个新的证法。

关键词：素数；(n2，(n+1)2)中的素数；s层筛法；s层筛法的余数矩阵；筛不完原理

1基本概念

定义1：用由小到大的前s个素数2、3、5、7、…、Ps划掉自然数集N={1,2,…,n,…}中这些素数的倍数，叫做N的s层筛法，记作Rs。例如从N中划去P1=2的倍数，得N1={1,3,5,7,…,2n+1,…}为N的第一层筛法，记为R1。用P1=2，P2=3划去N中2、3的倍数，得N2={1,5,7,…,6n-1,6n+1…}为N的第二层筛法，记作R2…。N的s层筛法也说成用Rn去筛自然数集N或Rn筛N。

定义2：用素数Ps(s=1，2， …)去除N中各数，依次所得余数构成的数列As={1,2,…,Ps-1,0;1,2,…,Ps-1,0；…}叫做Ps的余数数列。

例如P1=2的余数数列A1={1,01,0,…1,0,…}，这是一个周期为2的周期数列。P2=3的余数数列A2={1,2,0,1,2,0…1,2,0…}，这是一个周期为3的周期数列。Ps的余数数列是周期为Ps的周期数列。

定义3：Rs筛N所得s个余数数列构成的s行无穷列矩阵

是一个3×30的矩阵。

2引理

引理1：(n，2n)中至少有一个素数。

推论：第s+1个素数小于第s个素数的2倍，即Ps+1<2Ps。

引理2：Rs可筛光{2,3,4,…,Ps，Ps+1,…，Ps+1-1}。

证明：可筛光{2,3,4,…,Ps}是显然的，而Ps+1，Ps+2,…,Ps+1-1都小于Ps+1，故都能被Rs筛光。

引理3：R3能筛掉n的充分必要条件是n的余数列向量中至少有一个数是0。

证明：若Rs能筛掉n，则有素数Pi(1≤i≤s)是n的因数，有n=0(modPi)，即n的余数列向量的第i个元素为0。反之，若n的余数列向量中第i元素为零，则n=0(modPi)，即Pi(1≤i≤s)可划掉n，Rs能筛掉n。

引理1、4在数论的教科书中都有详细证明，这里不需要再证。

33个定理

定义4：Rs筛去的最长区间长度叫做Rs的筛去长度。

定理1：Rs筛去长度为Ps+1-2。

证明：P1的余数列为A1={1,0,1,0,…1,0,…}，所以R1筛去的长度为1，而P2=3，P2-2=1结论成立。

R3的余数矩阵D3，{1,2,3,4,5,6,…30}能被R3筛光的最长连续段为{2,3,4,5,6}，长度为5。P4=7，P4-2=5结论也成立。下面用数学归纳法证明：对一切自然数s，Rs的筛去长度都为Ps+1-2。

设s≤m-1时，R2的筛去长度都为Ps+1-2。当s=m时，1)k=1,2,3,4,…，pm，…,pm+1-1，筛去的长度都不大于Pm+1-2，这是因为1和Pm+1都是Rm筛掉的数；2)设k≤M时，结论都成立，Rm筛不光{k,k+1,k+2,…,k+Pm+1,…,k+Pm+1-2}。考虑Rm去筛

{M+1,M+2,…,M+Pm,M+Pm+1,…,M+Pm+1-2,M+Pm+1-1}的情况。如果对此段结论不成立，即Rm能筛掉此段中Pm+1-1个数，则Rm筛{M,M+1,M+2,…,M+Pm,M+Pm+1,…,M+Pm+1-2}时，只有M未被筛掉。

因为用Rm-1筛{M+1,M+2,…,M+Pm}至少有两个数筛不掉(否则与归纳假设矛盾)，而Rm能筛光{M+1,M+2,…M+Pm}，故此段中至少有两个数是Pm的倍数，这是不可能的。事实上，设：

M=0(modPm)则只有M+Pm被Rm筛掉；

M=r(modPm)，r>0时，只有M+Pm-r被Rm筛掉。

因此，k∈N时，

{k,k+1,k+2,…,k+Pm,k+Pm+1，…,k+Pm+1-2}

都不能被Rm筛光。又{2,3,5…，Pm+1-1}能被Rm筛光，所以Rm的筛去长度也是Pm+1-2。证毕。

定理2：Rs筛不完任何长为2Ps的连续自然数段{k+1,k+2,…,k+2Ps}。

证明：因为在(Ps,2Ps)中至少有一个素数，所以Ps+1<2Ps,2Ps>Ps+1-2。由定理1，Rs筛不完{k+1,l+2,…,k+2Ps}(k∈N)。

此定理称筛不完原理，用它可证n2与(n+1)2之间至少有一个素数。

定理3：(n2,(n+1)2)中至少有一个素数。

证明：π(n)为不大于n的所有素数的个数，

(n2,(n+1)2)={n2+1,n2+2,…,n2+2n}，

2n>Pπ(n)+1。

用Rπ(n)去筛(n2,(n+1)2)，必有筛不掉的数n2+i，n2

4素数在自然数中的概率为0的一个新证法

定理4：素数在自然数中的概率为0。

参考文献【REFERENCES】

[1]华罗庚.数论导引[M].北京：科学出版社，1997：90.

HUA L G.An introduction to the theory of numbers[M].Beijing：Science Press，Published in 1997：90.

[2](美)阿尔伯特· H·贝勒.数论妙趣[M].上海：上海教育出版社，1998：268.

Albert H B.Recreations of the theory of numbers[M].Shanghai：Shanghai education press，Published in 1998：268.

The proof of at least one of the prime numbers in(n2，(n+1)2)

RONG Shikui

(SchoolofMathematicsAndComputerScience，GuizhouEducationUniversity，Guiyang550018，China)

Abstract：In this paper，a well known problem that at least one of the prime numbers is in(n2，(n+1)2)(Hua Luo-geng 1979，[America]Albert H Beller 1998)has been proved.At first，the proof of the endless sieve theorem on the basis of sieve method was completed.And second，it proves that at least one of the prime numbers is in(n2，(n+1)2) on the basis of the endless sieve theorem.Then，a new proof method was given，in which the probability of prime number in natural number is 0.

Keywords：prime numbers；prime numbers in(n2，(n+1)2)；s- sieve method；remainder matrix of s- sieve method；endless sieve theorem

作者简介：戎士奎(1940-)，安徽阜南人，贵州师范学院终身教授。研究方向：数论、密码学。

收稿日期：2015-12-28；修回日期：

中图分类号：015

文献标识码：A

文章编号：1003-6563(2016)01-0078-03