呼吸性裂纹转子的瞬态振动特性分析

刘　政， 王建军

(北京航空航天大学 能源与动力工程学院，北京　100191)



呼吸性裂纹转子的瞬态振动特性分析

刘政， 王建军

(北京航空航天大学 能源与动力工程学院，北京100191)

摘要：旋转机械转子轴萌生裂纹后，瞬态加速过程中转涡差角时变使裂纹周期性开合，系统发生不同于稳态情况的振动。基于中性轴法确定裂纹开合，数值计算了呼吸裂纹引起刚度时变的转子过临界转速的瞬态振动，分析裂纹大小、方向角和重力对线性加速转子瞬态振动的影响，以及定功率加速瞬态过程中系统振动响应及稳定性。结果发现，瞬态条件下带呼吸裂纹转子系统亚谐波共振并不明显；裂纹越大，过临界转速时瞬态振幅越大；在临界转速附近裂纹瞬时张开会激起很大的振动；定功率加速过程下，若功率不足以提供转子顺利穿过临界转速，则会出现外界扭矩与瞬态振动的能量耦合，大裂纹还可能造成瞬态振动发展成混沌。

关键词：中性轴法；呼吸裂纹；临界转速；单盘转子；瞬态振动

航空发动机等旋转机械具有极其复杂的转子结构，工作于高速、高温、高压、大功率条件下，因此极容易萌生裂纹，转子涡动使裂纹开合，偏离设计状态而发生参数振动。尤其在启动和制动穿过一阶或多阶临界转速过程中，裂纹转子不仅出现剧烈的大幅值瞬态振动，而且可能出现转子振动与外界驱动力矩的能量耦合而无法工作。如果不及时发现，最终会导致转子的失稳断裂，且造成灾难性后果。因此，近年来裂纹转子受到学术界和工程界的高度重视。

在裂纹转子非线性动力特性研究方面，目前Jeffcott转子依然是研究问题最常用的模型。Patel[1]基于刚性固支Jeffcott转子采用两种裂纹模型——方波裂纹模型和随响应开闭裂纹模型，对比了不同裂纹下转子的周期参数振动，认为方波裂纹模型存在混沌、拟周期振动和亚谐波共振，而呼吸裂纹不存在上述现象。Untaroiu[2]针对带横向裂纹的Jeffcott转子，采用Floquet理论分析了参数周期时变转子运动稳定性，指出一阶无阻尼临界转速附近存在不稳定转速区。何成兵[3]针对裂纹Jeffcott转子弯扭耦合的非线性振动进行计算，发现弯振存在1/3阶、 1/2阶亚谐共振，扭振存在1/2阶亚谐共振。程礼[4]还分析了横向裂纹对Jeffcott转子系统固有频率的影响。在有关刚度耦合的呼吸裂纹方面，Saber[5]采用刚度周期变化的非线性弹簧模拟带呼吸裂纹的轴，分析了裂纹深度、旋转速度对刚度的影响，并采用谐波平衡法研究了转轴非线性动力响应。

在裂纹转子线性加速瞬态振动分析方面，邹剑等[6]基于简单铰链裂纹模型，采用余弦正交函数多项式控制裂纹开闭，数值计算得到了有裂纹de Laval转子的瞬态振动响应，认为裂纹转子存在亚谐共振，且刚度、质量偏心及其角度都会影响瞬态振动。何成兵等[7]采用方波裂纹模型控制裂纹开闭，也出现了亚谐共振现象。但这些裂纹模型不具有半开半闭过渡态的典型呼吸特征。Darpe[8]采用应力强度因子描述了双向耦合裂纹模型，分析了加速比、深度和阻尼对呼吸裂纹的影响，研究了带呼吸裂纹Jeffcott转子的瞬态振动，然而该方法每一步都需要复杂的迭代过程。

中性轴法裂纹模型是继方波裂纹模型、余弦裂纹模型和高-朱裂纹模型[9]之后又一个新模型，王宗勇[10]、林言丽[11]、杨丹等[12]均基于中性轴法研究了裂纹张开与闭合的呼吸过程，对带该类裂纹转子的稳定性、非线性动力学特性等进行研究。① 中性轴法具有明确的物理意义；② 中性轴法可以得出裂纹的解析模型，计算简洁快速；③ 中性轴法计算裂纹转子的规律和结论具有一般性，可以作为故障诊断等解决工程问题的参考。

鉴于以上因素，本文着眼于中性轴法确定裂纹开合的方法，数值计算了由呼吸裂纹引起刚度耦合的Jeffcott转子过临界转速的瞬态振动响应，分析了裂纹转子线性加速过程以及更符合实际的定功率加速过程的瞬态振动特性及其稳定性。

1基于刚度耦合裂纹转子的动力学方程

图1　呼吸裂纹轴横截面的几何示意图Fig.1 Geometric sketch of cross section of shaft with breathing crack

图1中共有6个坐标系，分别是静止坐标系(惯性参考系)Oxy，平动坐标系Ox′y′，旋转坐标系Oξη，既平动又旋转坐标系O′ξ′η′，涡动坐标系OX′Y′及描述裂纹的几何坐标系O′ξk′ηk′。转子质量主轴张成O′ξ′η′，刚度主轴张成O′ξk′ηk′，中性面及其法向张成OX′Y′。本文以Jeffcott转子为研究对象，裂纹位于转轴的正中央，讨论的转子动力学方程建立于非惯性系Oξη中。以裂纹角α描述裂纹大小，φ、Ψ分别为自转角和涡动角，其差角χ则影响裂纹呼吸特性，进而使转子刚度时变。

采用文献[10]中性轴法描述的带刚度耦合的呼吸裂纹模型，单盘转子刚度可表示为

[kξ,kη,kξη]T=k[fξ(β),fη(β),fξη(β)]T

(1)

式中：k为无裂纹刚度。裂纹造成转子刚度非对称，作瞬态非同步进动，弯曲中性面与两个主刚度方向不重合，因此转子刚度不仅在固定坐标系中时变，还在两个主方向上相互耦合，发生随自转角周期变化的参数振动。

采用旋转坐标系求解刚度耦合的转子动力学问题时，两个主刚度方向不随转速交变，在旋转坐标系中为定方向；转涡差角仅为心形旋转坐标的函数，而不包含自转角。这极大地简化了刚度矩阵，而轴的弯曲挠度及盘的偏摆大小为坐标不变量，因此旋转坐标系中计算的瞬态振动基本特征完全能反映系统的性质。此外，排除了自转的干扰，在旋转坐标系中可以获得清晰的盘心轨迹来分析转子的稳定性。在旋转坐标系Oξη中，转涡差角为

(2)

由图1可知，设裂纹方向(沿ξk′正向)与质量偏心方向(沿ξ′正向)的夹角(即刚度主方向与质量主方向的夹角)为静态裂纹方向角β0，因此依图1表示的截面模型，瞬时裂纹方向角为

(3)

在旋转坐标系Oξη中表示系统的动能、势能及耗散函数，不考虑内阻尼，根据Lagrange方程，建立对称放置、轴为刚性扭转的单盘转子系统在旋转坐标系Oξη下的动力学式(4和式(5)，式中m、Jp、e为质量、极转动惯量、偏心距;cr、cφ为位移和自转角阻尼比;L为驱动力矩;q为静系Oxy中的外力变换为旋转坐标系Oξη中的广义力。

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

定义无量纲时间τ=ωnt，则d( )/dt=d( )/(ωndτ)，可得带裂纹刚性支承Jeffcott转子的无量纲动力学方程式(11)，式(12)，式中L(dφ/dτ)为无量纲轴向扭矩，Q为无量纲广义力。

(11)

(12)

2线性加速裂纹转子过临界转速瞬态振动

2.1裂纹大小对转子瞬态振动的影响

当β0=0时，裂纹位于质量主轴ξ′方向上，刚度主轴与质量主轴正好重合。分别对比图2～图5中A点对应的转速值，由此可知，随着裂纹角的增大，同加速度瞬态条件下发生最大振幅的转速点在前移，这表明裂纹角的增大降低了转子同步涡动的有阻尼固有频率(图中γ=10-4最大振幅对应的转速略大于有阻尼临界转速)；这主要由于裂纹张开使转子轴的横截面积减小，裂纹角越大减小的越加明显，因此造成大裂纹角转子的临界转速显著降低。

图2　无裂纹Jeffcott转子的瞬态振动Fig.2 Transient vibration of Jeffcott rotor without crack

图3　裂纹角α=π/12转子的瞬态振动Fig.3 Transient vibration of rotor with crack angle of α=π/12

图4　裂纹角α=π/6转子的瞬态振动Fig.4 Transient vibration of rotor with crack angle of α=π/6

图5　裂纹角α=π/4转子的瞬态振动Fig.5 Transient vibration of rotor with crack angle of α=π/4

分别对比图2～图5中A，B，C或D点的瞬态振动幅值，经分析随着裂纹角增大。同加速度瞬态振动的幅值迅速增大，甚至当裂纹角α=π/4时小加速度条件下，过临界转速的瞬态振动已经完全超出可接受的范围，若是稳态运转在这个转速上，转子系统实际上是不稳定的。但是，当穿过临界转速运行在超临界转速阶段时，不同加速度的瞬态振动幅值可以收敛在同一值上。这是由于转子系统具有自定心性，超临界转速区内质心位于坐标原点，而形心则与质量主轴成-180°的方向上，距离原点一个偏心距。① 对比各图中不同加速度条件下瞬态振动的幅值可见，加速度越大，瞬态振幅越小，尤其对于较大裂纹转子过临界转速时，慢加速状态已经失稳(图 5中γ=10-4无量纲振幅X=1021，认为无穷大)，而快加速状态还保持相对较小的有限值(图 5中γ=10-2无量纲振幅X=0.89，与图2中γ=10-2振幅X=0.45相比增加不大)。这表明，自转角加速度对于转子瞬态的稳定性具有极大的影响，相同结构的转子系统，小加速度可能存在转速失稳区，大加速度则可以顺利通过临界转速。② 只要过了临界转速，转子瞬态振幅将逐渐稳定，而与加速度无关；但是，收敛速度与形式与加速度有很大关系，小加速度状态几乎不出现幅值振荡，而大加速度的瞬态振幅要多次振荡才能缓慢收敛。这时转子在固定坐标系Oxy下的瞬态振动由共振激起的按系统固有频率的自由振动和按当地转速频率的强迫振动合成，图2～图5中表现出的振幅的波动频率为当地转速频率与固有频率之差。

根据以上结果可以得出：①裂纹降低了转子非同步涡动的临界转速；②大加速度加速能显著降低转子过临界转速时的瞬态振幅；并且只要顺利穿过临界转速后，转子能稳定地运转于超临界转速区内；③裂纹加剧了转子刚度非对称性。裂纹转子在临界转速附近区域是不稳定的，且裂纹越大，转子不稳定转速区越大。

2.2裂纹方向角对转子瞬态振动的影响

本小节固定裂纹大小α=π/6，以β0为参数，计算了裂纹与质量主轴方向不同夹角时的转子在线性加速过程中的瞬态振动表现。由于转子做正向涡动，裂纹由开到闭的β∈[π/3, 2π/3]，由闭到开的β∈[-2π/3,- π/3]或[4π/3, 5π/3]，故β0主要影响亚临界转速段裂纹的开合、过临界转速时裂纹的变化以及超临界转速段裂纹与中性面(位于涡动坐标系O′X′Y′的O′Y′轴)的夹角。

图6　静态裂纹方向角β0=-2π/3转子的瞬态振动Fig.6 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of -2π/3

由于静态裂纹方向角β0主要影响过临界转速时裂纹与中性面的夹角β(即瞬时裂纹方向角)以及刚度在两个质量主轴上的分量(见图8～图10)，因此，① 分析瞬态振动幅值、瞬时裂纹方向角随转速的变化曲线，裂纹的开闭对远离临界转速的转速区影响很小，主要是由于亚临界转速段转速较低，激起的瞬态振动幅值较小；超临界转速区转子具有自定心效应，任何方向的瞬态振幅都维持在很小的水平；② 临界转速附近的裂纹开闭对瞬态振动影响很大，当转子正在穿过临界转速的瞬时裂纹方向角正好落在裂纹由开到闭区间，会激起相当大的共振振幅(见图8)，而落在裂纹由闭到开区间内激起的共振振幅并不比无裂纹转子明显(见图10)。这说明，在临界转速附近裂纹张开对转子瞬态振动影响较大，而远离临界转速时裂纹张开并不显著影响转子的瞬态振动。

图7　静态裂纹方向角β0=-π/3转子的瞬态振动Fig.7 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of -π/3

图8　静态裂纹方向角β0=0转子的瞬态振动Fig.8 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of 0

图9　静态裂纹方向角β0=π/3转子的瞬态振动Fig.10 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of π/3

图10　静态裂纹方向角β0=2π/3转子的瞬态振动Fig.11 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of 2π/3

反之，若因转子在启动过程中不平衡方位角不同而发生不同振幅的瞬态振动，就应判断轴上可能存在裂纹。这为振动故障的诊断提供了有价值的信息。

3变加速度裂纹转子过临界转速瞬态振动

如前所述，线性加速度缺少一个自由度，并不能考虑外界能量与转子系统的相互作用。本节针对带裂纹单盘转子结构考虑一种更接近实际的工况：定功率加速的有限能量模式。

当转子工作于某一稳定转速时，记此转速为工作转速λw，系统的无量纲功率为

P=2(ζφ+ε0ν2)λ2|λ=λwork

(13)

ε0为一修正值，本文取为0.05，则

(14)

代入式(11)，采用Newton-Simpson和Newmark-β法或四阶Runge-Kutta法，在零初值条件下联立求解式(11)和式(12)。工作转速λw=0.8、1.2、1.6、2.0裂纹转子过临界转速的瞬态振动(见图11～图13)。

图11　定功率加速转子的瞬态振动Fig.11 Transient vibration of accelerating rotor with constant power

图12　转子形心在旋转坐标系中的运动轨迹Fig.12 Motion trajectories of rotor centroid in rotating coordinate system

图13　振幅与转速的瞬态耦合关系Fig.13 Transient coupling relationship between amplitude and rotation speed

可以发现，① 对于工作转速为亚临界转速的转子，如λw=0.8，由于过临界转速共振幅值会增高，能量需求大，因此转子不能穿过临界转速，而最终稳定于亚临界转速区；② 对于工作转速高于临界转速的转子，如λw=1.6和2.0，能够提供足够能量而顺利穿过临界转速，在超临界转速区的瞬态振幅由于自定心效应维持在很小，而且工作转速越大，转子功率越大，过临界转速时的加速度越大，瞬态振幅越小；③ 以定功率模式加速的转子出现一类新情况，工作转速略高于临界转速，如λw=1.2，当发生共振时振幅与转速相互耦合，尽管预定的工作转速高于临界转速，但是驱动力矩不足以克服过临界转速的阻力矩(包括惯性力矩)，造成振幅急剧增大，转速稳定在亚临界转速上，出现“失速”现象。由图13可知，在瞬态振动过程中，当振幅下降时，转速增大；振幅增大，转速下降，最终由于阻尼存在而渐进稳定于亚临界转速且振幅很大的点。这就是外界驱动力矩和系统瞬态振动的能量耦合现象。对比图12(b)与其他情况的运动轨迹图，即可发现“失速”特征十分明显。因此，转子系统存在一个工作转速分岔参数λ0，表征外界驱动力矩的功率恰好使转子平稳顺利通过临界转速而达到预定的工作转速。相差极小的参数λw=1.319 5和λw=1.319 6，却分别对应两种形态的振动(见图 14～图15)。

图14　分岔工作转速点附近转子加速的瞬态振动Fig.14 Transient vibration of accelerating rotor with working power near the point of bifurcation parameter

图15　分岔工作转速点附近转子加速的形心在旋转坐标系中的运动轨迹Fig.15 Motion trajectories of centroid of accelerating rotor with working power near the point of bifurcation parameter

进而，若计算裂纹角α=π/4的瞬态振动，将出现更丰富的非线性现象。这主要由于裂纹开闭加大，刚度不对称加剧，裂纹过渡区以及张开区范围扩大，交变幅度增大，非线性特征越来越强。分别以工作转速λw=1.2、1.6、2.0、3.0的恒定功率加速裂纹角α=π/4转子，其瞬态振动见图16，图17表示相应的形心在旋转系Oξη中运动轨迹。

将以上裂纹角α=π/4的瞬态振动结果转化到静止的惯性参考系Oxy下，画出横向位移x(t)的相轨迹(见图18)；取θ=arctan(y/x)=π/4的截面为庞加莱截面，获得庞加莱映射(见图19)。

图16　大裂纹角转子定功率加速的瞬态振动Fig.16 Transient vibration of rotor with large crack angle accelerating with constant power

图17　大裂纹角转子定功率加速的形心在旋转坐标系中的运动轨迹Fig.17 Motion trajectories of centroid of rotor with large crack angle accelerating with constant power

图18　在惯性系Oxy下形心横向位移x(t)的相轨迹Fig.18 Phase trajectories of centroid’s horizontal displacement x(t) in inertial system Oxy

图19　形心横向位移x(t)的庞加莱映射Fig.19 Poincare maps of centroid’s horizontal displacement

分析图16～图19，可以得到：① 当裂纹扩大时，工作转速分岔参数λ0提高；② 只要工作转速在分岔参数λ0之上足够大，转子能顺利通过临界转速；③ 大的裂纹对应的瞬态振动形态更加丰富，(见图17(a)和图17(d)表示的振动形态在图15中已经出现过；图17(b)表现出在跟随转子一同旋转的空间中形心发生周期性运动，振幅与转速发生强耦合作用，此时达到稳态时外界驱动力矩维持阻力对能量的耗散；图17(c)则表示瞬态振动以及幅值能收敛，但对比图17(d)，形心作顺时针旋转，其相位要领先于质心。)④ 由图 17～图19(b)可知，当λw接近工作转速分岔点时，形心轨迹在非惯性系Oξη中呈现出近似的周期性运动，但由图 16可知，实际上形心振幅不具有周期性，而在惯性系Oxy中的庞加莱映射为一个区域内的点。因此，当外扭矩功率处于工作转速分岔点附近，系统极有可能发生混沌振动。

4结论

本文基于中性轴理论描述的直裂纹解析模型，采用四阶Runge-Kutta法数值计算了轴中央带有直前缘裂纹的Jeffcott转子分别在线性加速和定功率加速条件下对不平衡力的瞬态振动响应，分析了裂纹大小、方向及重力对这类转子瞬态振动的影响，从而得出呼吸裂纹转子瞬态振动的基本特性，为旋转机械转子结构设计、故障诊断、振动控制等提供参考。通过对带呼吸裂纹转子瞬态振动特性的分析，得出的主要结论有：

(1) 裂纹降低了转子的临界转速，周期性开闭对转子产生参数激励；随着裂纹的扩大，转子不仅出现瞬态振动峰值显著增大，而且稳定性也发生极大的变化；

(2) 在临界转速附近，裂纹张开对转子瞬态振动影响较大，而在远离临界转速的超临界转速或亚临界转速区间，裂纹张开并不明显影响转子的瞬态振动；

(3) 加速度对转子瞬态振动影响极其显著。对于裂纹转子过临界转速的瞬态振动，小加速度产生很大的瞬态振幅，甚至系统出现不稳定，而大加速度则能快速、平稳通过临界转速，但是瞬态振幅的振荡衰减要慢；

(4) 以定功率加速的转子，存在功率分岔参数；当驱动力矩功率小于分岔参数、大于临界转速功率时，转子加速超过临界转速时出现外界扭矩与瞬态振动的能量耦合，造成实际转速低于临界转速，而瞬态振动十分剧烈；

(5) 大裂纹转子在定功率加速过程中，当功率落在不稳定范围内，瞬态振动可能发展成混沌。

参 考 文 献

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Transient vibration characteristics of a rotor with breathing crack

LIUZheng,WANGJian-jun(School of Energy and Power Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)

Abstract:When a crack emerges on a rotor of rotating machineries, time-varying rotation-whirl phase difference makes crack open and close periodically, it causes the transient vibration of the rotor being different from its steady vibration. The neutral axis method was adopted to determine if the crack is opening or closing. The transient vibration response caused by crack breathing of a single disc rotor passing its critical speed was calculated numerically, and the influences of crack depth, orientation angle and gravity on the transient vibration of the rotor with a linear rotation acceleration, and the transient vibration characteristics and the stability of the system accelerated with a constant power were analyzed. The results showed that under the transient condition, the sub-harmonic resonance of the breathing crack rotor is not obvious; the deeper the crack, the larger the transient vibration amplitude passing its critical speed; when the crack opens near the critical speed, larger transient vibration is excited; when the crack rotor is accelerated with a constant power and the power is not enough to make the rotor smoothly pass its critical speed, the energy coupling between the outside torque and the transient vibration occurs, a big crack may cause the transient vibration of the rotor to be chaos.

Key words:neutral axis method; breathing crack; critical speed; single rotor; transient vibration

中图分类号:TH113.1; V231.96

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.036

通信作者王建军 男，教授，1956年生

收稿日期：2015-01-23修改稿收到日期：2015-04-09

第一作者 刘政 男，硕士生，1991年生