调频型颗粒阻尼器参数优化方法及有效性评价

闫维明, 王　瑾, 贾　洪, 许维炳, 陈彦江

(1.北京工业大学 工程抗震与结构诊治北京市重点实验室，北京　100124；2.中铁建设集团有限公司, 北京　100040；3.中国建筑科学研究院 建筑工程检测中心，北京　100013)



调频型颗粒阻尼器参数优化方法及有效性评价

闫维明1, 王瑾1, 贾洪2, 许维炳3, 陈彦江1

(1.北京工业大学 工程抗震与结构诊治北京市重点实验室，北京100124；2.中铁建设集团有限公司, 北京100040；3.中国建筑科学研究院 建筑工程检测中心，北京100013)

摘要：基于调频型颗粒阻尼器(Tuned Particle Damper，TPD)的简化线性分析模型-双调谐质量阻尼器(Doubly Tuned Mass Damper，DTMD)模型建立了TPD的数值优化方法，对TPD的参数进行了分析和优化，建立了TPD的简化非线性分析模型及其参数计算法，并利用该简化非线性分析模型对上述TPD数值优化法进行评价。理论和数值研究结果表明：与单TMD相比，TPD简化线性分析模型-DTMD的减震频带更宽，控制效果的鲁棒性更好。依据数值优化方法得到的TPD具有良好的减震控制效果；TPD简化非线性分析模型及其参数计算方法，可为颗粒阻尼器的应用提供理论和数值分析指导。

关键词：调频型颗粒阻尼器；双调谐质量阻尼器；数值优化；参数计算方法

颗粒阻尼技术发源于航空及机械振动控制领域，是一种将阻尼颗粒置于结构腔体或附属结构腔体内，通过颗粒与颗粒间、颗粒与腔体间的摩擦碰撞调谐并耗散结构能量的被动减振控制技术[1-2]。该技术具有对结构改动小，布置灵活，提供分布阻尼，造价低廉，无需维护和使用寿命长等优点在航空及机械领域已有广泛的研究[3-5]。鉴于其在航空、机械领域良好的减振降噪效果，近年来颗粒阻尼技术逐渐成为土木工程减震控制领域研究人员的研究对象。Papalou等[6]在宽带随机激励下对填充钨粉颗粒后单自由度结构的反应进行试验研究，考虑附加质量比，容器尺寸和激励强度对控制效果的影响，并采用等效单元冲击阻尼器进行模拟。研究中指出，当结构振幅很小或质量比很大且容器尺寸很小时，颗粒堆积在一起，限制了颗粒的运动，使得阻尼器减振效果变差。赵玲等[7-8]以柱式构件为研究对象，通过自由振动试验研究了填充率，质量比，空腔形式，材料等因素对颗粒阻尼减震效果的影响。鲁正等[9-10]利用数值仿真对颗粒阻尼器的性能进行研究，并提出了有效动量交换的概念，研究同样发现对于小尺寸的容器，由于堆积作用，附加较多颗粒的阻尼器的结构响应大于附加较少颗粒的阻尼器的结构响应。鲁正等[11-12]通过多自由度钢框架试验对缓冲型颗粒阻尼器的减振控制效果进行了试验研究，并与刚性内壁颗粒阻尼器进行对比。闫维明等[13-14]也对颗粒阻尼技术在建筑物减振控制方面的应用进行了探索，建议在建筑结构中可选择的阻尼颗粒材料和可能的安装位置，并通过试验进行了研究。

由于颗粒在腔体内的运动状态显著影响颗粒阻尼器的减震控制效果，为了弥补颗粒阻尼在微振动环境下控制效果较差的不足，闫维明等[15-17]借鉴调谐型质量阻尼器和颗粒阻尼器的设计理论，提出了一种由阻尼器腔体(腔体尺寸：长度L，宽度D，高度H)，阻尼器与受控结构的连接件(连接件三个方向刚度分别为kl,kt,kh)和阻尼颗粒三部分组成的新型的耗能减振装置，调频型颗粒阻尼器(Tuned Particle Damper，TPD)，见图1(a)，建立了TPD的简化设计方法，将简化设计后的TPD应用于某直线高架连续梁桥的振动台试验中，并利用简化分析方法对TPD的减震控制效果进行数值模拟，理论、试验和数值分析结果表明TPD具有良好的减震控制效果，激励强度是影响TPD减震控制效果的关键因素。陈前等[18-19]通过理论和试验研究方法对一种调频型颗粒阻尼器(颗粒阻尼吸振器)进行了初步研究，指出调频型颗粒阻尼器很好地弥补了颗粒阻尼在微振动环境下控制效果不佳的不足。戴靠山等[20]提出了一种调谐液体颗粒阻尼器，并将其应用于新型风电塔的减震控制中，指出该型阻尼器能有效减小结构的动力响应。

相对传统刚性连接颗粒阻尼器，调频型颗粒阻尼器(腔体与结构柔性连接)在微振条件下的减振效果更好，其应用前景更广。但由于调频型颗粒阻尼器减振控制效果的影响因素众多，关于调频型颗粒阻尼器的研究和应用尚处于探索阶段。本文拟基于TPD的简化线性模型-双调谐质量阻尼器(Doubly Tuned Mass Damper，DTMD)模型利用数值优化方法对TPD进行参数优化，并通过建立TPD的简化非线性分析模型及其参数计算方法对上述数值优化方法进行评价，为颗粒阻尼器在土木工程结构振动控制领域的设计应用提供理论和数值分析指导。

1简化线性分析模型参数优化方法

鉴于土木工程结构的动力响应幅值和频率均较低，颗粒间、颗粒与腔体间的相对碰撞速度较小，碰撞耗能小于颗粒碰前动能的1%[21]。颗粒与腔体之间、颗粒与颗粒之间碰撞主要是弹性碰撞，碰撞耗散的系统能量可以忽略，碰撞主要使颗粒与腔体壁发生动量交换，调谐结构能量。当颗粒与腔体壁不发生碰撞时，各单颗粒在相同的外部激励下的加速度一致，即各单颗粒的运动状态一致；而当颗粒与腔体壁发生碰撞时，碰撞是瞬时完成的，与腔体壁直接发生碰撞的颗粒会迅速将自身的运动状态改变且传递给临近的颗粒，因此颗粒群由于碰撞导致的运动状态改变也是瞬时完成的[22]。为简化分析过程，将颗粒与颗粒之间的相互作用视为内力，此时TPD的力学模型可以简化为图1(b)所示的阻尼器。图1(b)中，m2，m1分别为颗粒和腔体的质量，c2为颗粒在腔体内运动的等效阻尼系数，k2为颗粒在腔体内运动的等效刚度(摩擦和碰撞)，k1为阻尼器腔体与结构构件之间的连接刚度。进一步可视为DTMD,见图1(c)。

图1　阻尼器模型Fig.1 Model of dampers

1.1TPD简化线性分析模型DTMD-SDOF系统的动力反应放大系数

(1)

式中：

设xj(t)=hj(ω)exp(iωt)，(j=0,1,2)，则有

(-ω2M+iωC+K)h(ω)=F0

(2)

其中，

(-A1+A2+A3)h(ω)=Δ

(3)

式中：

(4)

式中：

I0(μ,s)=s2μ1+s1μ2+s2μ2

I1(μ,s)=μ1s2+μ2s1+μ2s2+s0μ1μ2+s1μ1μ2

I2(μ,s)=s1s2+s0s2μ1+

s0s1μ2+s1s2μ1+s0s2μ2+s1s2μ2

1.2基于简化线性模型的TPD参数优化分析

当不考虑受控结构阻尼时，若TPD简化线性模型-DTMD系统上下两层TMD均有阻尼，简谐激励作用下DTMD-SDOF系统的位移放大系数曲线不存在与阻尼比无关的理论定点，因此很难利用定点理论推导出DTMD的最优设计参数。可通过给定最优化目标函数，利用数值寻优方法对DTMD进行优化设计[23-26]。借鉴多重TMD的参数优化方法，对于n重TMD控制下的单自由度结构，主振动系统的位移响应曲线上存在n+1个最大值Pmax(r)，则可利用这些峰值定义以下两个评价函数[27]：

(5)

(6)

式中：I为使多重TMD控制下的单自由度结构各个峰值偏差为最小的评价函数；J为抑制共振峰值的评价函数。

给定受控结构阻尼比ξ0，DTMD总质量比μ=μ1+μ2，DTMD下层TMD附加质量比与上层TMD附加质量比之比为μH，μH=μ1/μ2。考虑到土木工程可用颗粒阻尼器参数范围，分别选定μ∈[0.01,0.10]，μH∈[0.1,10]，μ2=μ/(1+μH)，λ∈[0.6,1.4]，λ1,λ2≥δ，ξ1,ξ2∈[0,1]，δ为计算机可识别的最小正数，防止优化过程中出现奇异。待优化的变量有：λ1，λ2，ξ1，ξ2，ξ0，λ,μH，μ，本文选取的优化目标函数为使不同参数DTMD控制下的受控结构位移动力放大系数曲线的位移峰值的两个评价函数的和最小，即

Ζ(χ)=min(I+J)

(7)

由于影响DTMD-SDOF系统的参数很多，在各参数的全局范围内对各参数进行整体寻优时会导致优化时间过长，不利于简化线性模型的实际应用。为了减少分析耗时，分别给定受控结构的阻尼比ξ0=0，ξ0=0.02(钢结构)，ξ0=0.05(普通混凝土结构)，ξ0=0.10(普通混凝土结构损伤后)，DTMD系统的总质量比μ=0.01，μ=0.05，μ=0.10，DTMD下层TMD与上层TMD的质量之比μH∈[0.10,0.30];[0.90,1.10];[3.00,3.20]，上层TMD的阻尼比ξ2∈[0.00;0.30]，下层TMD的阻尼比ξ1=0，ξ1=0.05，ξ1=0.10，DTMD上、下层TMD的自振频率与受控结构自振频率之比λ1∈[0.10,0.40];[0.85,1.15];[3.00,3.30]，λ2∈[0.10,0.40];[0.85,1.15];[3.00,3.30]，激励频率与受控结构基频之比λ∈[0.6,1.4]。限于篇幅，仅给出了μH∈[0.10,0.30]时的分析结果。当受控结构阻尼比较小时，图2给出了数值寻优得到的较优DTMD控制下系统位移响应随激励频率与结构基频之比的变化曲线。

由图2可知，通过本文介绍的数值优化方法可知DTMD具有良好的减震控制效果。当结构阻尼比ξ0为0或0.02时，随着DTMD下层TMD的阻尼比增加，DTMD的控制效果的有效性和鲁棒性均变差；随着DTMD总质量比的增加，DTMD的最优参数控制效果的有效性和鲁棒性均变好，实际应用中可依据结构的安全性和控制效果的鲁棒性综合选择合适的DTMD优化参数；受控结构阻尼比的大小对DTMD的数值寻优过程没有影响，结构阻尼比一方面影响DTMD的最优参数值，另一方面影响DTMD-受控结构系统的位移响应幅值，结构阻尼比可以降低DTMD-受控结构的位移响应幅值。需要指出的是：由于所选参数范围的限制(数值优化分析时间的限制)，部分优化参数并非最优，例如图2(c)中DTMD的总质量比μ=0.05，ξ1=0.05时，数值优化得到参数并未使DTMD位移放大系数随频率比变化曲线中各峰值幅值保持基本一致。当受控结构阻尼比较大时，图3给出了数值寻优得到的较优DTMD控制下系统位移响应随激励频率与结构基频之比的变化曲线。

(a) μ=0.01ξ0=0λ1=1.07λ2=1.08(b) μ=0.01ξ0=0.02λ1=1.15λ2=1.15(c) μ=0.05ξ0=0λ1=1.02λ2=0.90

(d) μ=0.05ξ0=0.02λ1=0.95λ2=0.84(e) μ=0.10ξ0=0λ1=1.03λ2=0.83(f) μ=0.10ξ0=0.02λ1=0.99λ2=0.84图2 数值优化结果Fig.2Numericaloptimizationresults

(a)μ=0.01ξ0=0.05λ1=0.91λ2=0.84(b)μ=0.01ξ0=0.10λ1=1.07λ2=1.15(c)μ=0.05ξ0=0.05λ1=1.01λ2=0.87

(d)μ=0.05ξ0=0.10λ1=0.98λ2=0.88(e)μ=0.10ξ0=0.05λ1=1.00λ2=0.78(f)μ=0.10ξ0=0.10λ1=0.97λ2=0.80图3 数值优化结果Fig.3Numericaloptimizationresults

由图3可知，当结构阻尼比ξ0为0.05或0.10时，通过本文介绍的数值优化方法也可以得到控制效果较优的DTMD。对比图3和文献[27]关于单TMD参数优化及减振效果分析的相关结论可知：与单TMD相比，DTMD的减震频带更宽，控制效果的鲁棒性更好。与结构阻尼比较小时(ξ0≤0.02)不同，当DTMD总质量比为0.01时，DTMD下层TMD具有一定的阻尼比时，DTMD的控制效果比下层TMD没有阻尼时更优；随着受控结构阻尼比的增加，下层TMD有无阻尼比对DTMD控制效果影响的敏感性较低，DTMD-受控结构系统的位移响应幅值降低；由于所选参数范围的限制，与结构阻尼比较小时的数值优化结果类似，部分优化参数并非最优参数。

2TPD简化非线性分析模型

颗粒群初始沿腔体几何中心均匀分布，除个别颗粒外，颗粒群聚在一起。外部简谐激励作用下，颗粒群的运动逐渐趋于稳定状态，此时颗粒基本沿激励垂直方向均匀分布，并布满激励垂直方向腔体长度。利用单颗粒模拟颗粒群的运动状态和控制效果，需要满足两个条件：① 单颗粒与腔体壁和颗粒群与腔体壁之间的接触力大小一致；② 颗粒与腔体壁之间发生摩擦和碰撞的转化条件一致，即单颗粒与腔体壁之间和颗粒群与腔体壁的接触状态改变时间和改变条件一致。此时，调频型颗粒阻尼器控制下的单自由度结构简化非线性分析模型(见图4)。图4中，下标0，1，2分别代表结构，腔体和颗粒。

图4　TPD-SDOF简化非线性分析模型Fig.4 Simplified analysis model of TPD-SDOF system

图5　TPD等效附加阻尼计算简图Fig.5 Schematic diagram of TPD’s equivalent additional damping effect

(8)

式中：c2为颗粒在腔体内运动的等效阻尼系数，k2为颗粒在腔体内运动的等效刚度。阻尼系数为c2的线性黏滞阻尼器在一个周期内的耗能为[28]：

(9)

设颗粒与腔体壁之间的摩擦系数为μep，颗粒在一个周期内耗能可由下式计算：

(10)

联立式(9)和式(10)，则若由颗粒与腔体壁之间的摩擦来提供阻尼比ξ2，颗粒与腔体之间的摩擦系数需满足：

(11)

将式(8)代入式(11)得

(12)

则DTMD优化参数下调频型颗粒阻尼器中颗粒与腔体壁之间的摩擦系数μep=0.724。需要指出的是，颗粒阻尼器的相关数值模拟研究结果表明：在简谐激励荷载作用下，颗粒与腔体壁发生碰撞后，摩擦系数对颗粒阻尼器性能的影响不显著[29]。

3基于简化非线性模型的TPD数值优化方法评价

根据DTMD优化设计理论得到的较优TPD非线性模型参数，利用MATLAB编程建立调频型颗粒阻尼器的数值分析模型。图6给出了简谐激励下，依据DTMD优化设计方法得到的TPD对单自由度结构的控制效果。

图6　优化后TPD控制效果Fig. 6 Control effect of TPD after optimization

由图6可知，简谐激励下，根据数值优化理论设计的TPD对单自由度结构具有良好的控制效果。为了进一步验证TPD数值优化理论的有效性，分别输入Ⅰ类场地CPM090波、El-Centro波、Taft波和宁河波对TPD-SDOF简化非线性分析模型进行分析。图7给出了不同场地波作用下，依据DTMD优化设计理论得到的单颗粒TPD-SDOF系统的动力响应对比。

图7　不同场地波作用下，优化后TPD的减震控制效果Fig.7 Control effect of TPD after optimization under different waves excitation at different site conditions

由图7可知，不同场地地震波作用下，依据DTMD优化设计理论得到的TPD对单自由度结构均具有良好的减震控制效果，依据本文介绍的DTMD优化设计理论及相应的TPD优化参数计算方法可以获得较好的TPD优化参数，可为TPD在土木工程领域的应用提供理论和数值分析基础。

4结论

基于调频型颗粒阻尼器(TPD)的简化力学模型—双调谐质量阻尼器(DTMD)模型对TPD在土木工程结构领域的优化设计方法进行了研究。通过建立简谐激励下DTMD-单自由度结构系统的运动方程，推导出了DTMD控制下系统的位移响应动力放大系数，并采用数值优化方法对DTMD进行了参数分析。最后建立了考虑颗粒与容器壁碰撞的简化非线性模型，对数值优化方法的有效性进行了评价。结果表明：

(1) 简谐激励下双调谐质量阻尼器-单自由度结构系统的运动方程描述了调频型颗粒阻尼器对受控结构的控制过程，DTMD-SDOF系统的位移响应动力放大系数方程为TPD的优化设计提供了一定的理论基础；

(2) 数值优化方法可以得到具有较优减震控制效果的DTMD，优化设计后的DTMD具有良好的控制效果，与单TMD相比，DTMD的减震频带更宽，控制效果的鲁棒性更好；

(3) 不同场地地震波作用下，依据数值优化方法得到的TPD对单自由度结构均具有良好的减震控制效果。

参 考 文 献

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Parameter optimization method for tuned particle dampers and its effectiveness evaluation

YANWei-ming1,WANGJin1,JIAHong2,XUWei-bing3,CHENYan-jiang1(1. Beijing Municipal Key Laboratory of Earthquake Engineering and Structural Retrofit, Beijing University of Technology, Beijing 100024, China;2. Zhong Tie Construction Group Corporation Limited, Beijing 100040, China;3. Construction Engineering Testing Center, China Academy of Building Research, Beijing 100013, China)

Abstract:Based on a tuned particle damper (TPD)’s simplified linear model-doubly tuned mass damper (DTMD), the numerical optimization method of TPD was established, TPD’s parametric analysis and optimization were conducted. Then, a TPD’s simplified nonlinear analysis model and its parameter calculation method were established. According to the simplified nonlinear model, the effectiveness of the above numerical optimization method of TPD was evaluated. Theoretical and numerical analysis results showed that TPD’s simplified linear model-DTMD has a wider anti-vibration frequency bandwidth and a better robustness compared with a single TMD; the optimized TPD obtained with the numerical optimization method has a good control effect; TPD’s simplified nonlinear model and its parametric calculation method can provide theoretical and numerical analysis guidances for the application of particle dampers.

Key words:tuned particle damper; doubly tuned mass dampers; numerical optimization; parametric calculation method

中图分类号:TU352.1

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.022

通信作者王瑾 女，博士生，1987年生

收稿日期：2015-01-07修改稿收到日期：2015-03-26

基金项目：国家自然科学基金资助项目(91315301-03;51378039;51378037); 北京市教育委员委员会科技计划重点项目(KZ200910005002);高等学校博士学科点专项科研基金项目(20111103110015)

第一作者 闫维明 男，博士，教授，1960年生