从“解决问题”到“问题解决”究竟有多远

王宏　夏永立

一、“问题解决”与“解决问题”的联系与区别

“问题解决”作为数学的课程目标，意味着这个“问题”还没有解决，是课程教学所要达到的目标、结果。而“解决问题”，一方面是指数学课程内容，通过教学活动，这个“问题”将要被解决；另一方面，“解决问题”还包含着解决问题的方法、过程。因此，“问题解决”与“解决问题”，既是课程目标与课程内容的关系，又是课程目标与解决问题方法、过程的关系。

“解决问题”和“应用题”同属于课程内容。“应用题”多数是以文字形式呈现的，条件和问题刚好匹配的题目，学生解题时不需要自己去收集信息、发现问题和提出问题。部分学生只根据个别关键字词来掌握题型，根据题型套解题公式，学生善于解决与例题相同的问题，不会解决变式问题和生活中的现实问题，更不会发现和提出问题。

“问题解决”不等同于解答应用题，比之更为宽泛，价值取向也发生了变化。学生在解题的过程中，需要从纷繁的生活信息中比较、分析、筛选出有用的信息，抽象出数学问题，进而解决问题。解决问题的方法不是统一的，有时答案也不是唯一的。这里提及的问题并不是数学习题那类专门为复习和训练设计的问题，也不是仅仅依靠记忆题型和套用公式去解决的问题。

二、基于“问题解决”课程目标下“解决问题”的教学达成

1.创新形式，呈现问题。课程目标的变化带来了教材内容的变化。问题融入各知识领域，独立设置“综合与应用”内容领域，北师大版教材把“数学与生活”“数学与环境”“数学与体育”等引入教材；安排“探索规律”“解决问题策略”专题，苏教版教材出现了“解决问题的策略”“找规律”，增加思考性选学材料；人教版教材里有“数学广角”等。教材的变化就意味着教师的教学也要跟着改变，教师给学生呈现的问题侧重于与现实问题联系密切，非常规、探究性、开放性的问题。要创新问题呈现的形式，问题要具有开放性、趣味性、挑战性。学生在解决问题的过程中，没有现成的类型和解法来套用，需要学生运用所学知识，并通过个人或小组合作的形式探索和实践来解决，具有挑战性。（1）问题的一般解。（代数化：如“打电话”中用t表示时间，n表示人数，找出n与t的关系。）（2）探求问题的一般解的过程与小结。①你是如何寻求一般解的？②解决问题的关键是什么？③问题是何种数学模型，解决它用到了哪些数学知识，用到了怎样的思维方法和数学方法？（3）问题拓展研究。①有没有其他解法？如果有，比较不同解法的联系与差异。②问题推广：如问题中将“每分钟通知1人”改为“每分钟通知2人”……相应的解。（4）应用：类似问题，即相同的数学模型还有哪些实际背景？列出相关问题。这里，问题能不能解决也许并不那么重要，重要的是学生在解决问题的过程中，完成认识上的两个转化。第一个转化，从纷乱的实际问题中，收集、观察、比较、筛选有用的信息，抽象成数学问题。第二个转化是根据已抽象出来的数学问题，分析其中的数量关系，列出解决问题的算式，求出问题的答案。

2.扬长避短，借鉴经验。应用题教学的历史悠久，广大一线教师和许多专家学者在实践和研究中，对应用题教学做了大量有益的探索与改革，总结积累了许多宝贵的经验，对此，教师应有清醒的认识，扬长避短，合理地坚持和继承。传统应用题的审题、分析数量关系、制定解题步骤等都是需要借鉴的。教材及问题解决呈现形式的变化带来了学生读审题目的变化。学生学习数学的过程都不同程度地体现“问题解决”的过程，应用题学习是实现“问题解决”目标的重要载体。传统应用题中一直被社会抨击的—个练习：

有一个水池，打开进水管注满水池要4小时，打开出水管放完整池水要3小时，现在同时打开进水管和出水管，要多少时间才能把一池水放完？

大家指出此题的种种不是：虚拟情境、资源浪费等，从而对传统数学教学提出了质疑。但是我觉得练习和情境只是一个载体，教学是要去理解练习背后的数学思维方式。类似上述的情境如：家庭的收入与支出；公共场所人员的进场与出场；草场里草的生长与割去；人体的新陈代谢、社会人口的增减等，这是一个动态平衡的问题，难道不值得我们去研究？教师可以根据社会和人类的发展适当地调整练习的情境，改变“一个例题一种类型”的“散点式”学习，注重从多种情境中抽象概括数量关系结构，形成数学模型。教师在进行解决问题教学时，或许答案并不重要，重要的是学生在解决问题的过程中想到了什么。如“鸡兔同笼”问题，它只是一个载体，教师要研究在它们身上附着的东西，那就是数学的思想和数学的思考方法。

3.过程为体，策略为用。小学阶段重视解题策略的感悟和思想的渗透，是问题解决教学的重要特征，也是超越传统应用题教学的标志。小学数学中常见的策略有：画图、列表、列举、转化（化归）、假设等。

例如：在一边靠水渠处，用篱笆围成一个直角梯形菜地（如下图），已知三面篱笆总长14米，且每面的篱笆长都是整米数。

（1）请试着设计几种围篱笆的方案，并分别求出这块菜地的面积。（至少写出三种方案）

（2）篱笆怎样围时这块菜地的面积最大，最大的面积是多少？

由于问题的探索具有开放性和挑战性，学生需要猜想与尝试，逐步找出答案，发现规律。教师应引导学生利用列表的策略进行有序思考，可以使得问题迎刃而解。

通过列表尝试逐步发现高为7米，上底和下底的和为7米时，这块菜地的面积最大，最大面积为24.5平方米。如（7+7）×2=24.5（m）。学生在解决问题时，就会思考如何有序、不遗漏地计算出一共多少种不同的方法？学生在尝试解决类似问题的过程中，升华了对策略的感悟。

4.学会思考，鼓励质疑。

新课标指出：学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心。培养学生的问题意识和创新意识不是一朝一夕可以完成的事情，教师要通过示范、指导、评价等多种途径促进学生的问题意识。

（1）纵向思维，由浅入深。

如，教学“三角形内角和”时，教师可以提出：三角形内角和是180°，那么四边形、n边形的内角和是多少度呢？三角形、四边形、n边形的外角和是多少度呢？三角形的内角和一定是180°吗？或许学生探究不出结论，但是在学生心中种下了问题的种子。纵向思维体现特殊到一般，由一元到多元、由低维到高维的过程。

（2）横向思维，由此及彼。横向思维体现在由一种数联想到另一种数、由一种运算联想另一种运算、由一种图形联想到另一种图形的思维过程。

例如：数线段的条数，学生掌握了基本的方法。可以尝试解决下面的问题：

然后再让学生尝试解决下面的问题：下图中一共有多少个角？

（3）逆向思维，因果倒置。逆向思维就是对结论进行逆向的质疑。

如：计算3个五角硬币和5个一元硬币的总币值是多少？可以提出问题：6元5角还可以由哪些硬币组成？

5.积极评价，提倡反思。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。

如：用长24厘米的细绳围成一个边长为整厘米数的长方形，怎样才能使面积最大？

在评价时可以关注几个不同的层次：（1）能理解题目的意思。（2）能否提出解决问题的策略。（3）能否列举出若干满足条件的长方形，并能有序排列。（4）在观察比较的基础上能否发现其中的规律并能提出猜想。（5）能对猜测的结果进行验证。（6）进一步思考：边长如果不是整厘米数情况怎样？

“问题解决”作为数学教学的重要方面2-，如何更好地进行教学，达成目标，使学生学会用数学的眼光观察世界，发现问题和提出问题，学会用数学的思想方法分析和解决问题，是广大数学教师需要共同努力去研究探索的课题。

责任编辑：徐新亮