导数在函数问题上的应用
2016-05-14曾庆国
曾庆国
[摘要]函数与导数是高考必考内容，主要是考查利用导数研究函数的有关问题。本文拟对利用导数研究函数的切线问题，单调性，极值，最值的方法进行分析。
[关键词]利用导数研究函数；切线；单调性；极值；最值
在初中阶段，运用运动变化的观点来研究几类相对简单的函数如一次函数、二次函数、反比例函数。在高中阶段，我们又用集合映射的观点研究指数函数、对数函数、幂函数等几类基本初等函数，这些都是通过列表描点用平滑的曲线画出函数大体图像，并通过函数图像来研究这些基本初等函数的有关性质。但对于由几个基本初等函数的加减乘除构成相对复杂的函数，那么我们想通过列表描点画出这类函数图像进而研究这类函数的性质，就显得力不从心，因此很难刻画出这类相对复杂的函数的图像，从而影响我们对函数性质的研究。而导数恰好克服这一弱点，通过变化率和逼近的观点来研究函数的切线问题，利用导数进一步研究函数的单调性，极值，最值，这样就较容易刻画出这类相对复杂的函数的大致图像，通过图像就可以看出函数的单调性，极值，最值等性质，进一步研究这类函数的零点，方程的根，不等式等问题提供理论基础。函数与方程思想以及数形结合思想是高中数学重要的数学思想方法，同时它对培养学生抽象思维能力和创新能力有着重要意义和作用，且函数方程思想贯穿整个高中数学始终，地位作用显得尤为突出，而利用导数研究函数的有关问题是历年高考的重要考点。现本人利用导数研究函数的切线问题，单调性，极值，最值的方法及学生容易出现错误的地方提出自己的看法。
一、函数切线问题
函数y=f（x）在点x0处的导数f′（x），就是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率k，即k=f′（x0）。当我们在求解过某点的切线问题时，必须先讨论此点是否在切线上，若切点坐标未知，则应先设出切点坐标。
例 已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0。求函数f（x）的解析式。
分析 函数的切点问题最主要是利用函数方程思想，把切线的斜率和导函数的函数值联系起来，切点坐标P（x0，f（x0））满足三个方程：k=f′（x0），切点坐标P（x0，f（x0））满足切线方程和曲线方程。
解
∵f′（x）=3ax2+2bx-3，
根据题意，得f（1）=-2，
f′（1）=0，
即a+b-3=-2，
3a+2b-3=0，
解得a=1，
b=0。
∴f（x）=x3-3x。
二、函数单调性问题
函数的单调性与导数的关系：在某个区间（a，b）内，如果f′（x）>0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f′（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减。 注意在求解函数y=f（x）单调区间时，容易忽视函数y=f（x）的定义域。也要注意把握导函数图像与原函数图像之间对应关系。
例 设函数f（x）=xex。
（1） 求f（x）的单调区间与极值；（2）是否存在实数a，使得对任意的x1，x2∈（a，+∞），当x1
解 （1）f′（x）=（1+x）ex。令f′（x）=0，得x=-1。列表如下：
x[]（-∞，-1）[]-1[]（-1，+∞）
f′（x）[]-[]0[]+
f（x）[][]极小值[]
单调递减区间是（-∞，-1），单调递增区间是（-1，+∞），f（x）极小值=f（-1）=-1[]e。
（2）设g（x）=f（x）-f（a）[]x-a，由题意，对任意的x1，x2∈（a，+∞），当x1
∵g′（x）=f′（x）（x-a）-[f（x）-f（a）][]（x-a）2=（1+x）ex（x-a）-xex+aea[]（x-a）2=（x2+x-ax-a）ex-xex+aex（x-a）2=x2ex-axex-aex+aea[]（x-a）2。
x∈（a，+∞），g′（x）≥0，令h（x）=x2ex-axex-aex+aea≥0。
h′（x）=2xex+x2ex-a（1+x）ex-aex=x（x+2）ex-a（x+2）ex=（x+2）（x-a）ex，
①若a≥-2，当x>a时，h′（x）>0，h（x）为[a，+∞）上的单调递增函数，∴h（x）>h（a）=0，不等式成立。
②若a<-2，当x∈（a，-2）时，h′（x）<0，h（x）为[a，-2]上的单调递减函数，∴x0∈（a，-2），h（x0） 所以，a的取值范围为[-2，+∞）。 通过导数研究函数单调性的方法比较大小，证明不等式，以及处理定参问题，比一般的定义证明显得简单方便。 三、函数极值问题 函数极小值的定义：设函数f（x）在点x=a的函数值为f（a）比它在x=a附近其他点的函数值都小，f′（a）=0，而且在x=a附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，则点a叫做函数f（x）的一个极小值点，f（a）叫做函数f（x）的极小值。类似的也定义极大值。 例 方程x3-6x2+9x-10=0的实根的个数是 （ ）。 A。3 B。2 C。1 D。0 分析 此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，极值点，画出其草图，数形结合分析求解，就显得直观易解。
解 令f（x）=x3-6x2+9x-10，则f′（x）=3x2-12x+9。
∴f′（x）=3（x-1）（x-3）。
∴当x<1或x>3时 ，f′（x）>0，f（x）为增函数。
当1 ∴f（x）极大值=f（1）=-6<0。 故f（x）的极大值在x轴的下方，如图，即f（x）的图像与x轴只有一个交点，原方程只有一个实根。选C。 四、函数最值问题 把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值。 例 设函数f（x）=2lnx（x-1）-（x-1）2。若关于x的方程f（x）+x2-3x-a=0在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围。 分析 利用导数来分析处理，方程根的问题，函数的零点问题要注意和对应方程的根及函数的图像联系起来，通过 极值点和边界点求出函数的最值。当一个函数不能直接画出图像时，要有求导的意识来探究一下函数的基本性质然后再画草图。解题直观漂亮。 解 ∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）2， ∴f（x）+x2-3x-a=0x+a+1-2ln（x-1）=0。 即a=2ln（x-1）-x-1， 令h（x）=2ln（x-1）-x-1， ∵h′（x）=2[]x-1-1=3-x[]x-1，且x>1， 由h′（x）>0，得1 ∴h（x）在区间[2，3]内单调递增，在区间[3，4]内单调递减。 ∵h（2）=-3，h（3）=2ln2-4，h（4）=2ln3-5，又h（2） 故f（x）+x2-3x-a=0在区间[2，4]内恰有两个相异实根h（4）≤a 即2ln3-5≤a<2ln2-4。 综上所述，a的取值范围是[2ln3-5，2ln2-4）。 通过列表描点只能研究比较简单的函数的图像和性质，那么对相对复杂的函数只能通过导数研究它的单调性，极值，最值，就能生动刻画出这些相对复杂函数的图像，从而进一步研究其性质起着非常重要的作用。在教学中，导数与不等式，方程，三角函数，解析几何，向量等交叉渗透，这对学生各方面数学能力培养有着重要意义和作用。
