例探数形结合思想在函数中的应用

沈建军

[摘要]数形结合，指的是依据数学问题的条件与结论二者的内在联系，不但分析它的代数含义，同时也要揭晓它的几何意义。从而让数量之间的关系和空间的形式二者和谐而巧妙的联系起来，再利用这种结合方式，去找寻结题的思路，最后使得问题解决，数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：一个是借助于数的精确性来说明形的某些属性，或者凭借形的几何直观性来阐明数之间的某种关系。

[关键词]数形结合；函数；应用

高中函数概念、性质的理解是学生学习的一大障碍，数形结合思想就是扫清这一障碍的核心方法之一，本文从以下6个方面作出相应的探究。

一、利用数形结合解决抽象函数中涉及奇偶性、对称性、单调性、周期性的问题

例题 设y=f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图像关于直线x=12对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=。

分析 本题由于y=f（x）是抽象函数，故f（x）的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性质，画出右图数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知f（0）=0，又且y=f（x）的图像关于直线x=12对称，所以f（1）=0，则奇函数可得：f（-1）=0，则又由对称性知：f（2）=0同理：f（3）=f（4）=f（5）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0抽象函数问题，利用数形结合常能使我们找到解决此类问题的捷径。

二、数形结合法求函数最值、值域问题

所谓数形结合求解最值，一般是将一些抽象的解析式赋予几何意义，然后通过图形的属性及数量关系进行“数”与“形”的信息转换，把代数的问题等价性的用几何的方法来求解，使之求解更简单、快捷。

例题 求函数f（x）=x2+1+（x-2）2+1的最小值。

分析 通过观察已知函数的形式与结构，不难发现这是两个点间的距离之和，即可把原函数化为f（x）=（x-0）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-1）2，原题即转化成“已知点P（x，0），求它到两定点A（0，1），B（2，1）的距离之和的最小值”，从而结合图形，如图，即可解决。原函数化为f（x）=（x-0）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-1）2如图：函数f（x）的最小值即为|AP|+|PB|的最小值。作A点关于x轴的对称即A′点，即AP+PB=A′P+PB。

易知，当A′，P，B共线时，有最小值A′B=22即f（x）min=22

对于此题，原函数是二次根式，要求它的最值若直接用代数方法做比较麻烦，但在这儿我们根据解析式把代数问题几何化，由图形来解决此类问题，既容易理解，步骤又简单。

三、判断两函数图像交点的个数或函数零点的个数

求函数零点的个数是函数零点知识的常见题型，例如：给出函数，根据其定义域求函数零点的个数。这种题型之中的函数一般为一个复杂函数，解方程比较繁琐甚至不能达到目的，所以我们常用数形结合来解这类问题，把复合方程转化成基本初等函数相等的形式，求函数的公共解、函数图像的交点，正确地作出图像，从而判断出结果。

例题 求函数y=lgx-cosx 在（0，10]上的零点的个数。

分析 这是一道典型的求函数零点、方程的根的问题。它是由两个初等函数组成的复杂函数，利用求解方程lgx-cosx=0的根或画函数y=lgx-cosx图像，观察它与x轴的交点的方法都不易实现。但若转化成求解方程lgx=cosx的根、即求函数y=lgx与y=cosx的图像的交点，则由复杂函数的问题转化成了简单的初等函数的问题，求解起来简单易行。

函数的零点和方程的根的问题都可以采用如上做法：用“数形结合”的方法，先画出函数的图像，由图像可直观得解。

四、求函数的单调区间

例题 已知函数f（x）=x2-2|x|+2（-5≤x≤5），求出函数f（x）的单调区间并判断在单调区间上的单调性。

分析 有绝对值的式子一般要先去绝对值，得到f（x）=x2-2x+2x2+2x+2

这时要判断f（x）的单调性，就需要任意取x1，x2，判断f（x1）与f（x2）的大小，但这项工作显然很复杂，所以要结合图形来判断，只要画出f（x）在（-∞，+∞）上的图形，便可判断函数单调性。

解 化简f（x）=x2-2|x|+2（-5≤x≤5），

得 f（x）=（x-1）2+1，（0≤x≤5）（x+1）2+1，（-5≤x<0）

画出函数图像为图； 从图像可以看出极值点有-1，0，1，所以将图形分为四部分，即得到了四个单调区间：

f（x）在区间[-5，-1]上是单调减函数，在[-1，0]上是单调增函数，在 [0，1]上是单调减函数，在[1，5]上是单调增函数。

从这道题可以看出借助图形解决问题要比单纯用代数知识解题容易、直观得多。

五、比较两数的大小

例题 试判断0。32，log20。3，20。3三个数间的大小顺序。

分析这三个数我们可以看成三个函数： y1=x2，y2=log2x，y3=2x在x=0。3时，所对应的函数值。在同一坐标系内作出这三个函数的图像，由上至下图像分别为y3=2x，y1=x2y2=log2x，可以直观地看出当x=0。3时，所对应的三个点P，M，N的位置，从而可得出结论：20。3>0。32>log20。3

六、求曲边图形面积

例题 曲线y=x2和曲线y=x围成一个叶形图，其面积是 （ ）。

A。1 B。1[]2 C。2[]2 D。1[]3

分析 两条曲线围成的面积用微积分求出，并且是上面的函数减去下面的函数的积分。

解 两条曲线的交点为（1，1），阴影部分的面积为S=∫10（x-x2）dx

=2[]3x3[]2-1[]3x310=1[]3。

对于曲线所围成的不规则的几何图形的面积，要用微积分解答，注意积分的上限和下限，有时要看图形是否需要切分成多块部分求出。

我们凭着“以形助数，以数解形”的方式，让这些复杂的问题简单化，使抽象的问题具体化，从形的直观和数的严谨两个方面去思考问题，从而拓宽了解题思路，这是数学的规律性与灵活性的有机结合。