反思通性通法，打造高效课堂 反思通性通法，打造高效课堂

闵小梅

[摘要]对通性通法的教学进行反思，在指出某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用数学思想方法的同时反思其本质，以便学生理解并能灵活运用，从而打造高效课堂。

[关键词]通性通法；裂项相消；求和；高效课堂

通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法。这种具有普遍意义的解题方法，是数学方法的主流，也是高考中的重要考查点。而想要打造高效课堂，我们也必须从通性通法抓起。作为教师，我们当然会注重通性通法的教学，在见到某种常规题型时一定会给出常规思路、方法，学生见多了、听多了、做多了，也就条件反射式的接受了这些通性通法，只要符合形式就会套、搬，但一旦形式稍作修改，学生就会无所适从，明知是符合某种规律，却怎么也套不出。这时，我们的“高效”课堂就变成了“无效”课堂。

例 （江门市2015届普通高中高三调研测试理科数学第17题）

已知{an}是等差数列，a2=3，a3=5。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）对一切正整数n，设bn=（-1）nnan·an+1，求数列{bn}的前n项和Sn。

解 （1）数列{an}的通项公式an=a1+（n-1）d=2n-1（过程略）。

（2）由（1）得an+1=2n+1，bn=（-1）nnan·an+1=（-1）nn（2n-1）（2n+1）=14（-1）n2n-1+（-1）n2n+1。

n>1时，Sn=b1+b2+…+bn=14-1-13+13+15+…+（-1）n2n-1+（-1）n2n+1

=14[-1+（-1）n2n+1]=（-1）n-2n-14（2n+1）。

n=1时，S1=b1=-13也符合上式，∴n∈N*，Sn=（-1）n-2n-14（2n+1）。

在本题第（2）问中，主要考查数列求和之裂项相消法，很多学生能观察到数列{bn}的通项bn=（-1）nn（2n-1）（2n+1）与我们平常做过的bn=1（2n-1）（2n+1）类型相似，所以首先想到的也是裂项相消求和，但大部分学生却怎么都裂不出。为何如此呢？我们不妨先回顾一下数列中裂项相消求和的几种常见类型：

（1）1[]n n+k=1[]k1[]n-1[]n+k；

（2）1[]n+k+n=1[]k（n+k-n）；

（3）1[]2n-1 2n+1=1[]21[]2n-1-1[]2n+1。

在这些裂项中，其特点都是裂成两项相减的形式，而在上例中，数列{bn}的通项最终要裂成两项相加的形式，尽管学生对裂项相消求和的常见类型很熟悉，但没遇到过上例形式，大部分学生对此题就只能观之而无从下手了。

原因只是学生学得不够灵活，不能做到举一反三吗？其实不然，反思我们的教学，数列中“裂项相消求和”是通性通法，我们在教学时想必大多数老师在经过简单的举例求证后相应的就给出了一般规律，而且这个规律对学生来说也很容易求证得到。反观上例，也是典型的裂项相消法，为何我们的学生做不出来呢？再反思“裂项相消求和”这种通性通法，对上面几种常见的类型人人都知道可以裂项，都知道可以裂成这样，那为什么可以裂成这样？我们在教学时有没有反思过这种通性通法的本质是什么呢？

经过反思总结，我们不难发现，“裂项” 这种通性通法的本质其实也就是一个“待定系数法”。如在bn=1（2n-1）（2n+1）裂项时，不妨令bn=A2n-1-B2n+1，通过通分还原可以得到bn=A2n-1-B2n+1=2（A-B）n+（A+B）（2n-1）（2n+1），由待定系数法可得A-B=0A+B=1，解得A=B=12，于是就得到bn=1（2n-1）（2n+1）=1212n-1-12n+1。其他裂项亦是如此。

再回到上例bn=（-1）nn（2n-1）（2n+1）中，不妨令bn=（-1）nA2n-1-B2n+1，通过通分还原可以得到bn=（-1）nA2n-1-B2n+1=（-1）n·2（A-B）n+（A+B）（2n-1）（2n+1），由待定系数法可得2（A-B）=1A+B=0，解得A=14B=-14，于是就得到bn=（-1）nn（2n-1）（2n+1）=14（-1）n2n-1+（-1）n2n+1。

美国著名数学教育家波利亚认为中学数学教育的宗旨是教会年轻人思考，他说掌握数学就意味着要善于解题，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。事实上，学生解题能力的好坏从某种角度上来说也体现了我们的课堂教学是否高效，所以我们要培养学生的解题能力，打造高效课堂，也不妨试试多反思一下通性通法的教学。