美丽的阴影部分图形

李汉平

在初中数学《圆》这一章中，有很多求阴影部分面积的小题目，这是一类常见的基本题型. 有的题目，图形直观，能够直接求出阴影部分的面积；但是，有的题目需要弄清图形的构造特点，运用一定的技巧和方法才能求出阴影部分的面积. 求阴影部分面积常用的方法是将不规则的图形面积转化为规则图形的面积后和与差. 下面介绍几种常用的方法.

一、平移法

如图①：两个半圆中，长为24的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积为72 π.

分析 如图①所示，将较小的半圆沿CD向右平移，使其圆心O1与较大的半圆的圆心O重合，变成图②.这时，阴影部分就变成一个半圆环，由不规则图形变成规则的图形，进而求出阴影的面积为72 π.

二、旋转法

如图，在Rt△ABC中，∠BCA= 90°，∠BAC = 30°，AB = 8，把△ABC以点B为中心，逆时针旋转，使点C旋转到AB边的延长线上点C′，则AC边扫过的面积（图中阴影部分）为16 π.

分析 由图①结构可知：

S阴 = S扇形BAA′ + S△A′BC′ - S△ABC - S扇形BCC′ = S扇形BAA′ - S扇形BCC′

由已知条件可以算出这两个扇形的圆心角都为120°，这样阴影部分的面积实际上就是一个扇环的面积，（如图②所示），从而很容易求出它的面积为16 π.

三、等积法

如图①：AB为半圆O的直径，C、D为半圆弧的三等分点，若AB = 12，则阴影部分的面积为6 π.

分析 连接CD，根据“同底等高，面积相等”的原理得到S△ACD = S△OCD，图中的阴影部分的面积可转化为图②中扇形OCD的面积.

四、割补法

如图，AB是☉O的直径，C是半圆O上的一点，CD切☉O于点C，AD⊥CD，垂足为D，AD交☉O于E. 若E是的中点，☉O的半径为1，则图中阴影部分的面积为.

分析 由于E是的中点，所以弓形AE的面积等于弓形EC的面积，因此采用割补的方法，将图①中的阴影部分转化为图②中的阴影部分. 在计算的过程中，要证明四边形CDEF为矩形，运用勾股定理和垂经定理等，求出CD和DE的长.

五、重叠法

如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为2π - 4.

分析 图中的阴影部分是分别以正方形的四边的中点为圆心，以各边为直径的半圆重叠而成的，每两个半圆拼成一个圆，这样阴影部分的面积就等于两个圆的面积，减去正方形的面积.

在《圆》这一章中，求阴影部分面积的题目还有很多，求阴影部分面积的方法也很多，这里只列举了几种常用的方法，可供借鉴与参考. 每求出一个阴影部分的面积，就带给我们美丽享受，技术的升华，大大打开解题的思路. 要达到炉火纯青的地步，就需要在实际学习中广泛做题，总结归类，找出规律，以形成正确简洁的方法.