也谈“高中对数函数常见的解题策略”
2016-05-14蔡华俊
蔡华俊
对数值的大小比较，对数运算，对数函数是高中函数中的一个重要内容，这些问题在高考试题中屡见不鲜，下面对几类常见的对数题型的解题策略作出归纳.
一、知识归纳
1.对数的概念
（1）对数的定义
一般地，对于指数式ab=N，我们把“以a为底N的对数b”记作loga，即b=loga N（a>0，且a≠1）.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.备注：通常将以10为底的对数称为常用对数，N的常用对数记作：lgN；将以自然常数e=2.71828…… 为底的对数称为自然对数，N的自然对数记作：lnN.
（2）几种常见对数
对数形式特点记法 一般对数底数为a（a>0且a≠1）logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN2.对数的性质与运算法则
（1）对数的性质
①alogaN=N；②logaaN=N（a>0且a≠1）.
（2）对数的重要公式
①换底公式：logbN=logaNlogab（a，b均大于零且不等于1）；
②logab=1logba，推广logab·logbc·logcd=logad.
（3）对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga（MN）=logaM+logaN；②logaMN=logaM-logaN；
③logaMn=nlogaM（n∈R）；④logamMn=nmlogaM.
3.对数函数的图象与性质
表2
续表
性质定义域：（0，+∞）值域：R过点（1，0） 当x>1时，y>0当x>1时，y<0当0
对数定义中，为什么要规定a>0，，且a≠1？
理由如下：
①若a<0，则N的某些值不存在，例如log（-2）8.
②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数.
③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数.
为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数.
5.解题技巧
一种思想：对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明.
两个防范：解决与对数有关的问题时，（1）务必先研究函数的定义域；（2）注意对数底数的取值范围.
三个关键点：画对数函数的图象应抓住三个关键点.（a，1），（1，0），（1a，-1）.
四种方法：对数值的大小比较方法.（1）化同底后利用函数的单调性.（2）作差或作商法.（3）利用中间量（0或1）.（4）化同真数后利用图象比较.
二、例题分析
例1求函数f（x）=loga（2x2-5x+3）的单调区间.
解析设y=logau，u=2x2-5x+3.
由2x2-5x+3>0，解得x<1或x>32.
且u=2x2-5x+3在（-∞，1）上是减函数，在（32，+∞）上是增函数.
当a>1时，y=logau是增函数，
则函数f（x）的单调减区间是（- ∞，1），单调增区间是（32，+∞）.
当0 则函数f（x）的单调增区间是（-∞，1），单调减区间是（32，+∞）. 点评利用对数函数的定义，再根据复合函数列方程求解，注意对数函数底数的取值范围，需要进行分类讨论. 例2当0 A.（0，22）B.（22，1）C.（1，2）D.（2，2） 解析利用指数函数和对数函数的性质求解. 因为0 所以logax>4x>1，所以 0 取a=12，x=12，则有412=2，log1212=1，显然4x 点评对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，但运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变.例3已知1 解由于需要比较的三个式子都与lgx有关，先计算lgx范围，易知0 而作差得到）lgx）2-2lgx=lgx（lgx-2）<0， 所以得到lg（lgx）<（lgx）2 点评巧用中间桥梁比较对数值的大小，无论是指数式还是对数式的大小比较，一般都是使用“中间桥梁法”来进行比较，一般常用的中间桥梁是0或者1，有时还会使用作差比较. 例4当函数y=16-2x有意义时，求函数f（x）=（log2x4）·（log2x2）的最值及此时x的值. 解由16-2x≥0，得到x≤4，又由f（x）=（log2x4）·（log2x2）有意义，可知x>0，故0 f（x）=（log2x4）·（log2x2）=（log2x-2）（log2x-1）， 令t=log2x，则t≤2， f（t）=（t-2）（t-1）=t2-3t+2 （t≤2）. 由二次函数性质可知：当t=32，f（32）=-14最小，此时log2x=32，解得x=22；该函数没有最大值. 点评巧换元来求与对数有关的函数值域，换元法是高中数学中的一个重要方法，通过换元的思想将问题简化，特别常用于一些复合函数求值域的问题，换元法需要注意的是所换元的范围不能改变. 例5.已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）为偶函数.（1）求k的值；（2）若方程f（x）=log4（a·2x-a）有且只有一个根，求实数a的取值范围.解析：（1）因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx，即（2k+1）x=0，所以k=-12.（2）依题意令log4（4x+1）-12x=log4（a·2x-a），即4x+1=？a·2x-a？·2xa·2x-a>0，令t=2x，则（1-a）t2+at+1=0，只需其有一正根即可满足题意.①当a=1，t=-1时，不合题意.②上式有一正一负根t1，t2，即Δ=a2-4？1-a？>0，t1t2=11-a<0， 经验证满足a· 2x-a>0，所以a>1.③上式有两根相等，即Δ=0？a= ±22-2，此时t=a2？a-1？，若a=2（2-1），则有t=a2？a-1？<0，此时方程（1-a）t2+at+1=0无正根，故a=2（2-1）舍去；若a=-2（2+1），则有 t=a2？a-1？>0，且a·2x-a=a（t-1）=aa2？a-1？-1=a？2-a？2？a-1？>0，因此a= -2（2+1）.综上所述，a>1或a=-2-22.点评：此题为综合性题，需要运用偶函数的定义，对数函数的性质，分类讨论的思想.注意：在对数方程求解过程中，有些变形会改变未知数的范围，方程可能产生增根或失根，故对数方程求解后必须检验.
