聚焦学习起来，凸现“面”的二维特征

2016-05-14刘善娜

教学月刊·小学数学 2016年6期

刘善娜

“认识面积”是人教版三年级下册“面积和面积单位”单元的起始课。本节课的相关研究甚多，学生的障碍皆有共识——周长和面积概念的混淆。为了帮助学生消除这一障碍，一般借助“看一看”“摸一摸”“涂一涂”“比一比”等操作活动来助力学生掌握面积概念。但是，经历了这些活动的学生，为什么在后续学习中仍然会出现周长与面积概念的混淆呢？是不是我们仍然没有寻找到学生出现概念混淆的根本原因？

面对一个长方形桌面，人的感官先感知到的应该是二维的面。但学生是先学一维的周长，这一感官认知的顺序错位是不是会对二维的面产生影响？从周长概念到面积概念，是一维到二维的递升，学生在这个过程中真正的困难是什么？基于这样的思虑，笔者和团队教师一起对宁波地区10个学校共1670名学生进行了大数据的访谈、问卷和操作前测，确定学生的学习起点如下：

知识起点：学生对直观的“长短”、“大小”能清楚辨析，91.4%的学生能理解数学书的封面比练习本的封面大，75%的学生能认识到封闭图形才有大小，表明学生对“面积”的含义有一定的感悟。

经验起点：“面”和“面积”是不同的概念，学生眼里“面”比“面积”更抽象，只有26.9%的学生能描述 “什么是面”，却有37.7%的学生能描述“什么是面积”。摸“面”时只是“点一点”的学生，经由追问则发现他们并不认为“面”就是这个点，大意就是指“一个区域”——指认操作尽管不完整，本质上的认知却没有偏差。但学生在摸面与周长后用自己的语言表述 “面在哪里，周长在哪里”的时候，有72%的学生表达的意思是“周长就是靠在外面的部分，面就是在里面的部分”。

情感态度起点：在说说你对“面”和“面积”的认识时，学生把与“面”和“面积”相关的知识经验都予以了暴露，但仅有0.6%的学生摸了曲面，72.9%的学生摸了长方形的面，说明“长方形的面”心理接纳性最强。

可以发现，有大部分学生认为周长属于表面的“外面”一部分，面积属于表面的“里面”一部分，可见学生无法感知到两者之间一维、二维的差异，并由此生成了周长和面积混淆的根源。从抽象的一维到二维，对学生而言是一次认知飞跃。如何让学生自发地感悟两维的差异，顺利地从一维走到二维，就成了这一课教学需要解决的根本问题。

一、 “面”不离体，初悟“面”的二维性

（一）摸各类面，感受“规则物体—不规则物体”的“面”的共性

物体的表面是一个二维的图形，学生能直观地感觉到它所占的区域具有一定的大小，能发现不同书面的大小之分，会比较“黑板面比桌面大”。但是要回答什么是“面”的问题，他们又无法应答，因为他们的认识是零散的、模糊的、感性的，需要一个全面、体验、抽象的过程。

所以，课堂上教师还需准备含曲面的物体和不规则形物体。先放手让学生摸课桌上的面，发现“面”有水平的平平的，也有竖起来的平平的，有大也有小，就有利于突破“面”的水平固像，然后再让学生感知曲面。在经历了这一系列的摸面活动后，让学生用自己的话说说什么是“面”。

生：我觉得面就是物体的表面，物体最上面的一层，有平的也有凹凹凸凸的。

生：我觉得面就像是物体最外面的衣服，像我们人的皮肤。

生：有各种各样形状的面，“面”把物体裹起来了。

生：面有大有小，有圆有方。

生：面是这样摸过去整块整块的。

生：面有长方形、正方形、圆形等各种各样的形状。

因为学生对“面”的认知通常经由对身边常见物体表面的“摸一摸”形成，因此，要尽可能地提供丰富的直观材料突破一些位置上、形状上的认知局限，避免产生“面是水平的”“面是方形的”等片面认识，发现面共有的特征。

（二）蒙眼摸面，感受“横向到边—纵向到底”的面的二维特征

在教师没有指导之前，学生摸面基本都是用手指点一点，那么如何让学生自发地经由规范的摸面来表达自己指的是“一个区域”的本意从而跨向二维？如果把学生的“直观感觉”蒙起来，让学生主动要求“我想把面摸完整”，那么学生就能更好地感知“体—面—线”的内在序列，感受面的二维性。

师：认识它们吗？（师出示：

生：长方体、正方体。

师：它们身上的面是什么形状，看清了？如果把你的眼睛蒙起来，让你摸一个面，你能猜出摸的是哪个立体图形吗？摸的次数要尽可能少哦。谁来试试？其余同学也有任务，要看清记住他是怎么摸的，摸了几次。（学生一只手摸面）

生：（摸两次）我知道了，是长方体。

师：摸了两次，成功了。我们把他摸的痕迹表示出来。还有不同的摸法吗？请这一桌同学上来，一个摸一个表示出摸的痕迹。师：刚才第一位同学是横着摸竖着摸，第二位同学是横着摸了两次，我们仔细观察他们摸面的痕迹，虽然摸法不同，但是他们都摸出长方形的什么？

生：这样摸，摸出了长方形的长和宽。

生：横着摸两次，长摸出来了，宽第一次摸出一大半，第二次摸出一小半，宽也摸出来了。

师：说得真有意思，第一次宽摸出了一大半，这个时候确定了哪一部分面的大小？（淡色部分）第二次宽摸出了一小半，就确定了哪一部分的大小？（深色部分）两次摸的面加起来，就确定了整个面的大小。

学生原本总是难以规范地摸出整个“二维”的面，常在内部画了个圈就算摸完，这是因为他在视觉上已经看到了整个面。现在蒙眼摸，学生为了感知的准确性就自发地从长、宽二维去摸，主动地从一维走向了二维。教师再结合摸“面”的过程帮助学生对长、宽进行度量刻画，初步感受面积的可加性，对面的二维性形成更清晰的认识。

二、贯通三维，体会“面”的二维性

目之所及一个物体，应该是先看见整个“体”再看见“面”最后才是“线”，可是学生是先测量周长，再测量面积，最后测量体积，因为一维、二维、三维，测量难度逐步递增。认识“面”的大小，是从一维测量拓展到二维测量的飞跃，可以借助学生的视觉经验，去贯通一维、二维、三维。

（一）体上摸出面，体上摹出面——从三维到二维

面不离体，面可以从体上抽象出来。学生感受这样一个过程，既能体会到面与体之间的联系与区别，也有利于学生更好地理解“面”有别于“体”的二维特征。

师：你能不能想一个办法，让一个“面”走到我们的纸上来呢？

（学生拓、印面，展示交流作品“圆形”“硬币拓印圆面”“长方形”“三角形”“正方形”，分别猜猜说说这个“面”来自什么物体）

师：“面”可以在物体的表面，也可以是这样的平面图形。

（二）线围出面积，线没围出面积——从一维到二维

物体的表面在客观上都可以视作一个有周界的“封闭”图形，所以在讲平面图形时要借助“封闭”让学生正确理解面积的含义：面积是对一个二维图形的表面进行度量的结果，如果“表面”无法确定，那么就无法度量，也就没有面积。

师：现在屏幕上有根线，长为30厘米。我用这根线围出一些平面图形，它们有面积吗？请用黄色表示出它们的面积。

师：都认为第4个图形没有面积？你们是怎么想的？如果我想涂呢？（拿笔在实物投影上涂）

生：那就能一直涂下去了。

生：到底能涂多大的面积，根本不能确定，涂也涂不完。

生：只有封闭图形才有确定的大小，才能涂完。

师：好，那你们就在已经涂出面积的封闭图形上用红色笔涂出周长，再分别摸一摸面积、指一指周长给同桌看。现在你觉得周长、面积有什么不同？

生：周长是一周的长度，面积是里面的大小。

生：周长在外面，面积在里面。

生：周长都是30厘米，面积大小各不相同。

师：周长是长度，是测量图形一周得到的具体长度，这里是30厘米。而面积是整个面的大小。

课件直观展示：

突出周长是一维测量的结果，是测量封闭图形外面一周得到的长度，纠正学生脑海中“周长是面的一部分”“周长是面的外面部分”的一维二维混淆的根源性偏差。而用一维的线围成二维的面，在封闭图形中抽取出一维的周长和二维的面积，都能加深学生对周长和面积的维度感悟，对两个概念的本质会有更深的理解。

三、度量成积，理解“面”的二维性

人教版教材添加了“面积守恒”的知识点，并不仅仅是为了感知面积的大小“不变”，而是在“可加可减”的测量中认识到面积的测量本质。而在“面积”概念的学习过程中，感受面积与周长的度量差异也有助于凸显两个概念之间的区别。

（一）借格子图测量，利用大小的“块状测量”感受面的二维特征

在“认识面积”一课的教学中，对于面积大小的比较，更多的只是直观视觉上的判断或是直接的比较，如果借用格子图，既能为测量打下基础，也能让学生“一块一块”地数出面积，即从二维的角度用简单的数据来表述面的大小，从而进一步理解面积的含义。

师出示右图：

师：周长都是30厘米，面积大小各不相同，它们的面积会是多少呢？正方形的面积有多大？和几个格子一样大？你是怎么看出来的？能上来数一数吗？

师：嗯，正方形的面积=9个格子的大小。那么，谁的面积比9个格子的面积大？谁比9个格子的面积小？这两个图形（师出示左图）也想和长方形比面积，谁的面积大呢？和同桌说一说你是怎么想的。

一开始，课件上的正方形上并没有格子线，要知道它有几个格子那么大，对一部分学生来说是有挑战的。因此在一部分学生表达自己的观点后，随即出现格子线进行辅助，使全部学生都能看出两个图形的大小。学生计数表述的过程，就是一个简单的测量过程。而面积相同、形状不同的图形的比较，则是让学生在计数测量的同时，感受面积作为二维测量的结果是可加可减的，可以“块状”地分割累计。

（二）借钉子板拉伸，利用矩形的“二维扩张”理解面的变化要素

学生后续要学习的平面图形的面积计算，都会比较明显地涉及面积的二维特性，那么在初始学习阶段就可以借助直观图像让学生对面积“变化”有更清晰的认识，同时对面积变化的二维特性有更深的理解。

师：现在老师在钉子板上围出这样的一个长方形（出示3×2的长方形），这个长方形的面积有多少个格子这么大？

师：现在要使这个长方形的面积变大，你有哪些方法？（作品反馈）

生：可以把橡皮筋往右拉，面积就大了。

师：往右拉，长方形的什么变长了？

生：长方形的长从3格变成4格了，变长了，往左拉也可以。

师：这时增加的面是哪一部分？什么形状？有多大？（）请同学上来指一指。

生：增加的部分是一个长是1，宽还是2的长方形。

师：非常好。下一个同学能不能也这样来说说你是怎么做的，面积大在哪儿？

生：我是长不变，宽拉大了。增加的面积也是一个长方形。

生：我是把长方形的长和宽都变长。增加的面积可以看作是两个长方形。