变教为学

高艳影 郜舒竹

【摘 要】在目前的概念教学中，往往存在对概念的剖析不足和教学模式单一等问题，而教科书作为教师教学的主要依据，虽然能够明确指出数学概念的本质，但也因其高度的概括性使学生对概念的理解存在一定的困难。面对这样的问题，学生可以通过查阅词典，然后用与教科书中的概念进行对比、分析的方式学习数学概念，这样不仅能够辅助学生对其进行理解，还可以将课堂上以教师“讲授”为主的教学活动，改变为以学生自主“学习”为主的学习活动，变“教概念”为“学概念”，从而实现数学概念的“变教为学”。这样的概念学习模式对于学生的概念学习是有必要的、有益的。

【关键词】汉语词典 概念教学 变教为学 教科书

一、小学数学概念教学中存在的问题

数学教学从数学知识的形态上进行区分，大体可分为数学概念的教学、数学命题的教学和数学问题解决的教学三个部分。[1]数学概念作为数学知识的基础，是学生数学学习的核心，数学概念的理解和掌握与学生数学知识技能的掌握、数学思考的启发、解决数学问题能力以及数学情感态度的培养有着密切的联系。数学概念的学习在小学阶段尤为重要，然而，在实际小学数学概念的教学中却存在一定的问题。

例如，在一节课题为“认识周长”的公开课上，教师设计了三个教学活动。

活动一：用笔描一描图形的一周。

活动二：观察以下三个图形有“一周”吗。

活动三：估一估哪个图形的一周最长，然后量一量。

该教师设计了三个教学活动，试图让学生通过亲自描一描、看一看、量一量等一系列的学习活动，感受平面图形的周长，了解只有封闭图形才有周长以及规则与不规则图形周长的测量方法。本节课的学习目标是“认识周长”，可是关于什么是周长，学生并没有深入的理解，只能根据教科书提供的周长的概念定义得知：封闭图形一周的长度叫作周长。那么什么叫作“一周”呢？事实上，教师并没有对周长的概念进行解读与剖析，学生对周长概念的掌握也只是停留在“一周”上。

教科书是教师教学过程中主要的依据和参考材料，也是学生学习知识的载体。教科书中数学概念的定义对于师生之间学习活动的展开有着重大的影响。通过整理人教版教科书中的概念定义发现：教科书中的概念定义虽然能够明确指出概念的本质，但是另一方面也因其高度的概括性不利于学生的理解与掌握。

二、词典与教科书的结合

（一）词典与教科书的关系

教科书是教师组织教学和学生展开学习的主要参考资料，词典作为人们在实际生活中普遍应用的工具书之一，给人们的生活和学习带来便利。事实上，教科书与词典之间有着紧密的联系，两者在概念定义方面有同也有异。两者的相同之处在于，教科书与词典都对概念进行了解释说明，都有助于人们对概念的理解与解读。与此同时，两者也存在差异，首先，教科书与词典的用处有所不同。教科书主要是供学生和教师使用，是用于教师教学与学生学习的工具书。而使用词典的人除了学生还有各行各业的工作者等其他社会人士，词典的使用无论对于学习和工作都大有裨益。其次，是对于概念的定义，教科书中的数学概念是反映数学研究对象及其决定性属性的思维形式，[2]是对一类数学研究对象的本质属性以及它们之间关系的高度概括。而词典作为人们学习和工作必不可少的工具书之一，在对词语的概念定义进行解释的同时，还会对其意义或者用法进行解释说明，这些都能够帮助学生更好地理解数学概念。

（二）教科书与词典结合使用的好处

1.帮助学生更精确地理解数学概念

《数学辞海（第六卷）》[3]中指出数学概念的学习是数学学习的基本内容之一，主要包括以下三点：

（1）要透彻理解数学概念，就是说要咬文嚼字、逐字逐句地推敲。

（2）要注意概念随着数学的发展而拓展，给予它新的定义。

（3）注意使用概念解题，在使用中加深理解。

数学概念是对某一类事物特征和本质的高度总结，是由语句组成，而语句又是由一个个词语组成，那么对数学概念的剖析与理解就需要适当的“字斟句酌”，词典作为高权威性工具书之一，其合理使用对学生数学概念的理解有着积极的影响。

2.有效地增加学生的学习活动

词典的有效使用不仅能够帮助学生更好地理解数学概念，还可以适当地增加学生的学习活动，把“以教为主”的课堂教学变为“以学为主”的课堂教学，实现教与学的易位，打造“变教为学”理念的理想课堂：“让每一位学生受到关注，让每一位学生都有活动，让每一位学生都有机会”，[4]最终实现“让每一位学生获得发展”的目标，这样的数学课堂对于学生来说毫无疑问是有益的。

以“周长”的教学为例，词典中“周长”的定义是“周长即圆、椭圆或其他封闭图形的周界的长度”。因此学生在理解“什么是周长”之前，首先要知道什么叫作“周界”。根据词典中的释义，所谓“界”就是指：“边境，一个区域的边限，常用来表示两个地区分界的线；某些事物的边缘；尽头处，限度。”那么对于一个封闭图形来说，可以把封闭曲线围成的部分叫作内部，其余的部分叫作外部，那么内部和外部之间的界限就叫作这个封闭图形的周长（如图1所示）。

为了将“界”形象化，教师可以在设计教学时结合《西游记》中孙悟空为了保护唐僧而画的一个圆圈辅助学生理解，这里的“界”其实就是圆圈的周长。这样的教学设计不仅能够激发学生的学习兴趣，而且能够将“界”“周长”现实化，这种将抽象的几何知识具体化、现实化的教学模式对于处于初级认知阶段的小学生来说无疑是有利的。

对“界”概念的理解不仅有助于学生掌握“周长”的概念，还能够帮助学生认识“直线”“射线”“线段”。在几何领域，一维图形的界是点；二维图形的界是周长；三维图形的界是表面积。线作为一维图形，根据有无端点以及端点的个数被分为直线、射线和线段三种类型。根据词典中“界”的第三种释义“尽头处，限度”来进行理解，直线没有端点，相当于没有尽头，因此可以向两端任意的无限延长；射线只有一个端点，那么射线便可以向“无界”，也就是没有端点的方向无限延长；而线段有两个端点，两边都有“界”，因此是无法无限延长的。

三、“平行”概念的“变教为学”

相交与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，正确认识“平行”的概念，不仅对理解平行四边形、梯形等平面图形起着至关重要的作用，小学数学立体几何、平移等数学知识的掌握同样离不开“平行”。教科书中将平行定义为：在同一平面不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相平行。即平行是通过是否相交来进行判定的。

如图3所示，经过延长之后的两条不相交的直线就一定平行吗？除了延长之外是否存在其他的方法可以简便准确地判定两条直线是否平行？

（一）“距离”与“平行”

事实上，词典中“平行”的概念定义是：两条线或者两个平面之间的距离相等，始终不相交。如果可以结合词典中给出的“平行”定义，学生便可以通过测量两条直线之间的垂线段也就是“距离”来判断两条直线是否平行，而不是仅仅根据所谓的“无限延长”或者直接观察去判断平行。如此一来，学生对于平行的概念便有了更加准确、深入的认识，与此同时也深刻地感受到数学学科的严谨性与科学性。

值得强调的是，对于平行线的学习，要求学生不仅要掌握平行线的概念，了解平行线的性质，还需要掌握平行线的画法，这样的话仅凭“同一平面内，两条直线不相交”这一概念去画平行线明显是不准确的。事实上，在学生画平行线的时候就已经运用到“距离恒等的两条直线互相平行”这一定义了。

如图4所示，苏教版教科书中给出的平行线的画法实际上就是根据“两条直线间距离相等，两直线平行”来画平行线的，如果学生在学习平行的概念时对词典给出的平行的定义有所了解，那么根据教科书与词典的结合使用，学生无论是对平行的概念定义还是平行线的画法都能够很好地掌握了。

事实上，早在古代的《墨经》中便曾指出：“平，等高也”。[5]以地平面为基准，如果一条直线到地面的距离恒相等，那么便可以断定这条直线与地面平行。而在现实生活中经常用来衡量物体质量的仪器——天平，判断两端物体质量是否相等的依据就是观察天平的横梁是否与水平面平行，也就是横梁两端到平面的距离是否相等（如图5）。除此之外，著名的捷克教育家Comenius在其著作《Geometria》中给出的平行线的画法如图6所示，已有直线AB，分别以A、B两点为圆心，定长为半径画半圆，那么两个半圆的切线CD平行于AB。若连接AC、BD便可以发现，AC、BD的长度即两个半圆的半径，而两个半圆的半径是相等的，即AC=BD，因此根据两条直线间距离相等，两直线平行，得出AB与CD互相平行。

可见，“距离”的学习与学生理解“平行”的概念有着紧密的联系。

（二）平行的教学设计

“距离”的学习有助于学生更好地理解平行，而“距离”作为两条直线之间的垂线段，是在“垂直”的基础上进行教学的，因此，在学习平行之前应该将“垂直”与“距离”的教学编排在先，因为垂直可以通过测量相交的角的度数进行判定，是可度量的，学生在掌握“垂直”与“距离”的概念之后便可以通过测量两条直线之间的距离是否相等对平行进行判定，使得平行也具有了可度量性，有助于学生更加准确地掌握平行的概念。

教学活动要根据知识属性进行设计，数学课程中知识的属性有两种：发现（discover）和发明（invention），知识属性不同，学习的方式自然也存在差异。发现过程的核心环节是“观察与比较”，“发明”的过程重在“需求与创造”。[7]数学概念是对一类事物本质属性的高度概括，其知识属性是一种“发明”，因此，学习数学概念首先要感受需求，然后让学生经历自主创造的过程，从而掌握数学概念。

任何人学习任何知识都不可能“看见就会，听见就懂”。就一节课的学习过程来说，应当是“感知、思考、交流”等环节的“循环往复，螺旋上升”的过程。[8]首先，学习过程起始阶段的“感知”实际上就是感受需求，从而引发学生的学习动机，让学生愿意去学。然后，学生具有了学习动机便会主动进行思考，从而尝试通过各种方法解决问题。学生在思考问题、解决问题之后便可以与同伴或者师生之间进行交流。需要注意的是，在交流的过程中要尊重每个学生的意见，然后就目前的疑惑继续进行“感知—思考—交流”的学习过程，直至问题得以解决。

“认识平行”这节课的教学设计，实际上引导学生经历三次“感知—思考—交流”这样的学习过程，最终得以全面的认知“平行”。

第一次“感知—思考—交流”：观察生活中“不相交”的现象，通过认知冲突引出对“不相交”的位置关系的思考。此前学生已经得知同一平面内的两条直线存在相交与不相交的两种位置关系，当两条直线相交夹角为90°时，两条直线互相垂直，那么当两条直线不相交时，又该如何描述这种位置关系呢？学生可以自由地对其进行定义，各抒己见。但是，数学作为一门科学严谨的学科，数学知识的特点是其通用、精确、简约的科学语言。[9]因此需要统一命名这种位置关系，从而引发了第二次“感知—思考—交流”的过程。

第二次“感知—思考—交流”：学生通过仔细观察这种不相交的位置关系，从而发现这种位置关系的特点，即没有交点而且两直线之间的距离相等，结合《墨经》中的“平，等高也”以及生活中常见的天平，将这种不相交的位置关系叫作“平行”。

第三次“感知—思考—交流”：对平行概念的深入理解，学习画平行线。根据目前对“平行”的理解，判断下图中的两条直线是否平行。

学生可能会通过延长两条直线观察是否相交来进行判定，但是需要延长很长的一段距离。此时应鼓励学生思考：有没有其他的方法可以迅速准确地判断这两条直线是否平行。学生带着问题查询词典中定义的“平行”的概念，独立思考、理解词典中“平行”的概念定义然后进行组内交流，根据词典中给出的定义验证这两条直线是否平行。最后根据对“平行”的完整的认识动手画一组平行线，同学之间互相交流画法，说说为什么这么画。通过判定两直线是否平行以及动手画平行线的活动再次巩固对“平行”概念的理解，最终掌握“平行”这一数学知识。

数学概念的学习是数学学习的基础，学生对数学概念的理解至关重要。在实际教学中，词典的合理使用对于数学概念的教学有着积极的辅助作用，不仅能够帮助学生理解数学概念，还可以使学生经历自主学习、解决问题的过程，增加学生的学习活动，真正地让学生去“学概念”而不是教师“教概念”。学生的学习取决于他自己做了什么，而不是教师做了什么，[10]在教学过程中，要让“每个学生都有活动，每个学生都有机会，每个学生受到关注”，这样才能使得“每个学生获得发展”。因此，数学概念的“变教为学”是有必要的、有益的。

参考文献：

[1] 张英伯，曹一鸣.数学教学论[M].北京：北京师范大学，2010.

[2] 《数学辞海》委员会.数学辞海（第六卷）[M].中国科学技术出版社，东南大学出版社，山西教育出版社，2002.

[3] 《数学辞海》委员会.数学辞海（第六卷）[M].中国科学技术出版社，东南大学出版社，山西教育出版社，2002.

[4] 郜舒竹.小学数学这样教[M].上海：华东师范大学出版社，2015.

[5] 刘洁民.中国传统数学中的平行线[J].自然科学史研究，1992（01）.

[6] Michael，Delaney.Drawing Parallel Lines：A Bohemian Approach[J].Mathematics in School，2006（11）.

[7] 郜舒竹.小学数学这样教[M]上海：华东师范大学出版社，2015.

[8] 郜舒竹.“变教为学”需要螺旋上升的学习活动[J].教学月刊小学版（数学），2015（10）.

[9] 张奠宙，唐瑞芬，刘鸿坤.数学教育学[M].南昌：江西教育出版社，1991.

[10] 施良方.课程理论——课程的基础、原理与问题[M].北京：教育科学出版社，1996.