问题表征对数学解题的作用

作者简介：杨超（1993-），男，四川达州人，教育硕士生，研究方向：数学教育。

摘 要：问题表征是数学问题解决认知活动中一个中心环节，恰当的问题表征是成功解决问题的前提条件。问题表征通常是指解题主体将问题信息与已有知识经验相联系，形成问题空间的过程。本文重点探讨数式表征、图形表征对数学解题的作用，以及问题表征能力的培养。

关键词：问题表征；数式表征；图形表征

中图分类号：G633文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）02-0118-02

1、问题的提出

在现实数学解题过程中，我们常常遇到这样一种情况，即自己对一个问题“百算不得其解”，并且自身所用解题方法也没有任何逻辑上的错误，而当请教同行时，同行也许很快便完成了问题的解答。究其原因，很大程度上是由于不同的解题者对问题的表征不同，从而导致对问题理解的方向不同，最终形成“百算不得其解”与“迎刃而解”的差别。正如司马贺说的：“问题表征是问题解决的一个中心环节，如果一个问题得到了恰当的表征，那么这个问题就解决了一半[1]”。喻平在研究数学问题解决模式中，将解题的认知过程分为：问题表征、模式识别、解题迁移、思维监控，其中指出问题表征是解题的前提条件，如果不能恰当的、合适的对问题进行表征，那么便导致模式识别的失败，就需要重新对问题进行表征。由此可见，问题解决过程中，恰当的问题表征对解题有至关重要的意义。

2、问题表征的内涵

“表征”一词最早源于认知心理学，即把“信息的记载或表达方式称为对这种信息的表征”。随后从二十世纪八十年代，“问题表征”开始备受关注，并且在数学领域中的数学问题表征的研究也日趋丰富。Simnon（1986）认为问题表征包括信息和信息的加工；Goldin（2001）认为问题表征是一种映射；喻平（2003）认为问题表征即个体将外部信息转化为内部信息，形成为题空间，包括明确问题给定的条件、目标和允许的操作[2]。此外，问题表征按照不同分类标准可以有多种不同问题表征方式，例如Krutetskii（1976）按照数学信息加工方式的不同，把问题表征分为语言化表征、形象化表征、混合型表征；纪桂萍（1996）从心理表征方面将问题表征分为形象表征和抽象表征；Dixon和Moore（1997）在研究直觉表征对问题解决中数学策略选择的影响时，提出了原理表征和综合表征等。而数学是一门关于数量关系和空间形式的学科，那么在问题解决过程中，任何问题的表征都可以看作是由数学符号组成的数式表征和几何图形组成的图形表征，这种问题表征的分类已有了大量的研究。上述Krutetskii（1976）的分类中形象化表征即在解题中偏爱运用视觉形象表征问题，这种视觉形象便包括数学符号、几何图形等。纪桂萍（1996）所提到的形象表征即对材料、图画、语音、符号的表征，抽象表征是对概念、命题、定理的表征，由此可以发现，数式表征、图形表征分别对应抽象表征、形象化表征；徐明（2002）将问题表征分为文字表征、数式表征、图式表征、模型表征，其中指出数式表征即体现数学特点的术语，例如代数式、方程、集合等，图表表征即图形表征与表格；徐厚生、华方（2004）将数学问题表征分为文字表征、图形表征、图示表征，他们指出其中的图式表现为数量关系，图形表现为几何关系。

综合各研究者的结果，我们可以发现，问题表征对数学问题的理解有重要促进作用，它是运用已有知识经验对问题信息的积极理解，并沟通“已有知识经验”与“问题信息”的联系形成问题空间。并且问题表征具有明显的三个特点：主动性，即问题表征是解题者对数学问题能动理解；认知性，即问题表征是一种高级的思维过程，是一种认知过程，并且这个认知过程需要解题者已有知识经验的积极参与；概括性，即任何数学问题经过恰当的问题表征，都会在解题者头脑中形成独特的问题空间，这个问题空间会大大简化原数学问题的复杂程度，有助于问题的成功解决。由此，我们可以将问题表征理解为：解题主体将问题信息与已有知识经验相联系，形成问题空间的过程。

此外，问题表征可以分为不同的类型，但对数学解题而言，由数学符号组成的数式表征和几何图形组成的图形表征对解题是最重要的两个方面。研究也表明，恰当的问题表征是解决问题的必要前提，在错误的或者不完整的问题空间进行搜索，不可能求得问题的正确结果[3]。

3、问题表征对解题的作用

我们已经将数学问题表征分数式表征和图形表征，并且这两种表征方式在解题中有重要作用，下面就以一则案例进行详细阐述。

例：已知x，y，z∈R+，并且x+y+z=1，则函数f（x，y，z）= x2+xy+y2+y2+yz+z2+z2+zx+x2的最小值为

分析问题：考察的是不等式最值问题，题目所给条件和问题有一定的结构特征，可预测当且仅当x=y=z=13时取得最小值，则只需要证明这种形式 + + ≥3，则重点在画整体为局部，推测≥33成立（当x→0，y→0，z→1时不等式不成立），进而转化为x2+xy+y2≥x+y（经验证此不等式也错误），再次转化为x2+xy+y2≥32（x+y），此时问题似乎可以解决了。

思路一：着眼于数量关系，将x，y，z仅看做是代数，则重点在于对根式的变形化归，则关键步骤为x2+xy+y2=（x+y）2-xy≥（x+y）2-（x+y2）2。

思路二：着眼于几何图形，由于题目给的是数量关系的不等式，要转化为图形关系，则需要沟通“数量关系形式”与“几何图形定理”的联系。在观察根式下代数式的结构形式，较容易联系到余弦定理，则其中的关键步骤为x2+xy+y2=x2+y2-2xycos1200，进而题目的问题转化为三角形两边之和大于第三边（需要做一个三棱锥，其中三条棱分别设为x，y，z，且三条棱两两夹角为1200，此图略）。

思路三：在上述着眼数量关系的变形中，发现平方关系，由此在着眼数量关系中还联想到向量的模，于是又找到一种新的求解方法，其中关键步骤为（x+y）2-xy=（x+y2）2+（32y）2==（x+y2），32y，再有++≥++即可。

综上，问题的解决，一般都可以通过着眼于数量关系和图形关系得到很好地解决，并且在分别着眼数量关系或者几何关系时，两者还可以在问题解决过程中不断转化。需要注意的是，数式表征通常比较简洁、准确，具有严格的逻辑推理；图形表征比较直观，能辅助解题，即使有时不能直接得出结果，但可以诱发思路帮助解题。

4、问题表征能力的培养

（1）形成良好的知识结构体系。无论任何问题的理解、表征，都是依赖于解题者具备良好的知识结构体系，这种知识结构体系就需要对某个问题所涉及的知识概念、定理、公式的掌握，并且对这些知识能够灵活记忆、随时提取，即良好的认知结构；此外，良好的知识结构体系还包括解题者曾经的解题经验、解题记忆、推理方法等，只有这样在遇到新的问题时，才能对问题准确、快速的表征，正如笛卡尔曾经说到：“我所解决的每一个问题，都将成为范例，这些范例可有助于其他问题的解决”。上诉案例中，解题者也必须熟悉不等式相关知识，代数式运算，余弦定理，向量等有关知识，才能对问题准确、快速的表征以及之后的操作。

（2）保持严密的思维监控。喻平将数学解题的认知过程分为问题表征、模式识别、解题迁移和解题监控，于文华进一步剖析了它们之间的关系：问题表征是模式识别的基础，模式识别是解题迁移的前提，解题监控贯穿着整个解题过程，且作用于整个认知过程[4]。很显然，喻平肯定了思维监控对整个解题的促进作用。事实上，数学思维监控就是解题者对整个数学思维活动的审视、分析、不断改进和调整的认知过程，在这个过程中，严密的思维监控可以帮助解题者进行一种自我提示，如：问题条件是否考虑完了，这样做可行吗等。所以，保持严密的思维监控，将会使解题者全面的考虑问题。

（3）进行问题外在表征的专门训练。前面我们已经将问题表征分为数式表征和图形表征，那么有必要专门进行这两种表征的训练。事实上研究表明，学生问题解决不出的关键常常是在表征问题时不能有效的在各种表征方式之间进行转换[5]。因此，在实际解题中，首先应该明白问题表征对解题的重要性，就需要养成先仔细审题的习惯，弄清题意后在制定解题计划，即通常所说“磨刀不误砍柴工”的道理；其次，在表征问题时，因尽可能的从数式表征、图形表征两方面思考问题，甚至可以尝试在这两种表征之间进行转换，达到对问题多方面多角度思考，例如上诉案例中，着眼代数式而重点指向代数式变形，着眼图形特征重点在找符合代数式形式的几何定理、公式等，最后一种思路则发生于代数式变形中找到了与几何关系联系的向量、三角不等式等；最后，可以用发声思维对脑海中的各种思路进行逐一检验，发现其合理性与不合理性，及时进行取舍。

总之，问题表征在数学问题解决中具有重要促进作用，同时是优化解题活动和追求数学问题普遍化的重要手段，同时它也可以作为一种好的学习习惯，对改善学生的学习方式，优化学生的数学思维结构等有促进作用，应该在日常数学学习中引起重视。

（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）