浅议高中数学中抽象函数问题的解法

罗鑫

摘要：本文从多个方面介绍了抽象函数的应用，特别是从平移的角度说明了抽象函数的对称问题，并就典型例题加以分析解答，对学生的常见错误进行了剖析。

关键词：抽象函数；定义域；周期；对称；平移；解析式

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）03-0114

抽象函数的有关内容一直是学生学习的一个难点，关于抽象函数题目类型较多，形式灵活多变，考查内容无论从深度和广度，给人耳目一新的感受，现就其中几个主要问题加以分类解析。

一、求抽象函数的定义域

1. 若已知函数f [g（x）]的定义域为x∈（a，b），求函数f（x）。

解决这类问题的方法是：利用a

例1. 已知函数f（x+1）的定义域是[-2，3]，求y=f（x）的定义域。

解：因为函数f（x+1）的定义域是[-2，3]，所以-2≤x≤3

所以-1≤x+1≤4， 因此y=f（x）的定义域是[-1，4]

2. 若已知函数f（x）的定义域为x∈（a，b），求f [g（x）]函数的定义域。

解决这类问题的方法是：a

例2. 已知函数f（x）的定义域为（0，1]，求函数g（x）=f（x+a）+f（x-a）（-

解：因为函数f（x）的定义域为（0，1]

所以0

由于-

所以不等式组（Ⅰ）的解为-a

即g（x）=f（x+a）+f（x-a）（-

二、抽象函数的周期性和奇偶性

1. 抽象函数的周期性

例3. 定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（x+2），且当x∈（-1，1]时，f（x）=x2+2x，

求当x∈（3，5]时，f（x）的解析式。

解：∵f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x）

∴f（x）是以4为周期的周期函数

设x∈（3，5]时，则-1

∴f（x）=f（x-4）=（x+4）2+2（x-4）=x2-6x+8（3

评注：若对函数f（x）定义域内的任意，恒有下列条件之一成立（以下式子分母不为零，a≠0）

①f（x+a）=-f（x） ②f（x+a）= ③f（x+a）=-

④f（x+a）=- ⑤f（x+a）=- ⑥f（x+a）=f（x-a）

则函数f（x）是以2a为周期的周期函数①

2. 抽象函数的奇偶性

奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，有时为了便于判断函数的奇偶性，也往往需要先将函数进行化简，或运用定义的等价形式，但对于抽象函数的奇偶性的判断主要是用赋值法，构造出定义的形式。

例4. 已知定义在上的函数f（x），对于任意x，y∈R都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0

（1）求f（0）的值

（2）判断函数f（x）的奇偶性

解：（1）令x=y=0，则有2f（0）=2[f（0）]2 ∵f（0）≠0∴ f（0）=1

（2）令x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）·f（y）=2f（y）

所以f（-y）=f（y）这说明函数f（x）是偶函数。

三、抽象函数图像的对称变换

结论1：①函数y=f（-x）与函数y=f（x）的图像关于y轴对称；

②函数y=-f（x）与函数y=f（x）的图像关于轴对称；

③函数y=-f（-x）与函数y=f（x）的图像关于原点轴对称；

④函数y=f-1（x）与函数y=f（x）的图像关于直线y=x轴对称。

结论2：若对定义域内的一切x均有f（x+m）=f（n-x）成立，则函数y=f（x）的图像关于直线x= 对称。

结论3：函数y=f（x+a）与y=f（-x+b）的图像关于直线x=对称（a，b为常数）。

例5. 設函数y=f（x）的定义域为，则函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图像关于（ ）

A. 直线y=0对称 B. 直线x=0对称

C. 直线y=1对称 D. 直线x=1对称

错解：因为函数y=f（x）的定义域为R，且f（x-1）=f（1-x），所以函数y=f（x）的图像关于直线x=0对称，故选择B。

错解分析：错误的原因是将两个不同的对称问题混为一谈，即将两个不同函数图像的对称问题，错误地当成一个函数的图像对称问题，从而导致错误。

正解：因为函数y=f（x）的定义域为R，而y=f（x-1）的图像是y=f（x）图像向右平移1个单位而得到的f（1-x）=f[-（x-1）]的图像是y=f（-x）图像向右平移1个单位而得到的，又因为f（x）与f（-x）的图像关于y轴对称，因此函数y=f（x-1）与y=f（1-x的图像关于直线x=1对称，故应该选择D。

四、求抽象函数的解析式

解决抽象函数解析式的问题，关键是构造出函数f（x）。通常采取赋值法，赋予恰当的数值或代数式后，通过合理运算推理，最后得出结论。

例6. 已知f（0）=1，f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1），求函数f（x）的解析式。

解：令a=0，则 f（-b）=f（0）-b（-b-1）=1+b（b-1）=b2-b+1

再令-b=x，即得f（x）=x2+x+1

（作者单位：贵州省遵义市第四高级中学 563000）