用几何画板探究指数函数的图像与性质

高圣洁

【摘要】通过人教A版教材高中数学必修一第37页用几何画板画出函数图像y=bx2的启发，本文借助几何画板这个教学软件，以指数函数为例，引导学生快速作出指数函数f（x）=ax（a>0，a≠1）的图像，并且在同一坐标系下作出多个指数函数的图像，然后观察指数函数f（x）=ax（a>0，a≠1）的图像随a的变化而发生怎样的变化，比较各指数函数图像的形状和位置，从而得到指数函数f（x）=ax（a>0，a≠1）的性质，然后再利用指数函数的性质来解决关于指数函数所涉及的问题.

【关键词】几何画板；指数函数；指数函数图像

指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一.作为常见函数，它是函数概念及性质的第一次应用，一方面它可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，另一方面也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础，同时它在生活及生产实际中有着更广泛的应用，所以指数函数应重点研究.然而，高中阶段一提起函数，学生们就充满了恐惧，再谈及函数的性质，更是感到深深的不安，尤其是指数函数与对数函数的图像与性质，同学们掌握的更差.事实上，追根溯源，还是对于指数幂的运算不熟悉，对于指数函数图像形成的过程感觉模糊.而几何画板具有丰富的图像功能，几何画板能迅速地画出任何一个初等函数的图像.因此，在研究指数函数的性质这一教学环节中，我们可以借助几何画板这个数学教学软件，迅速、便捷地画出指数函数的图像.而学生由于亲自动手操作，也从一个旁观者和听众变成主动参与者，亲身体验了知识的产生，发生和发展过程，清晰地了解到知识的来龙去脉，并且在脑海中也形成了生动、形象的画面，这些都有助于帮助他们领会和把握知识之间的内在联系，从而更好地学会指数函数以及它的性质.

一、用几何画板画出指数函数f（x）=ax（a>0，a≠1）的图像.

1.建立画板文件

（1）新建一个画板，选择“文件”菜单中的“保存”命令，输入文件名“指数函数及其性质”，保存其文件；

（2）打开几何画板，选择“绘图”菜单中的“定义坐标系”命令，绘图区出现带网格的直角坐标系，选择绘图中菜单中的“隐藏网格”命令，将网格隐藏掉.

2.建立参数a的动态系统

（1）用点工具在y轴上绘制1个点A；

（2）同时选中点A和x轴，选择“构造”菜单中的“平行线”命令，构造出过点A且与x轴平行的直线；

（3）用“点工具”在平行线上绘制一个点B，改其标签名为a，选中平行线，选择“显示”菜单中的“隐藏平行线”命令，隐藏平行线；

（4）选中点A、a，选择“构造”菜单中的“线段”命令，构造连接A、a两点的线段；

（5）选中线段Aa，选择“显示”菜单中的“线型”命令，将线段的线型设置为粗线.保持线段的选中状态，选择“显示”菜单中的“颜色”命令，将线段的颜色设置为红色，隐藏点A；

（6）选中点a，选择“度量”菜单中的“横坐标”命令，度量a点的横坐标，然后把其标签改为a，如图1所示.

3.建立并绘制函数图像

（1）选择“绘图”菜单中的“绘制新函数”命令，打开新建函数对话框；

（2）单击度量值“a=…”，在顺次点击对话框中的按钮*，x，^，2，完成构造函数f（x）=ax，单击“确定”关掉对话框，如图2所示.

说明：拖动a点，可以看见函数的图像随a值的变化而产生相应的变化.

4.建立自变量与函数的对应关系

（1）用“点工具”在x轴上构造一点，度量出该点横坐标的值，将坐标的标签改为x；

（2）选择“数据”菜单中的“计算”命令，打开“新建计算”对话框，单击函数式f（x）=ax（a>0，a≠1），再单击x横坐标的值，计算自变量x的函数值f（x）；

（3）顺次选中文本x，f（x），选择“绘图”菜单中的绘制（x，y）命令，绘制点（x，f（x）），将它与自变量x对应的点用虚线连接起来；

（4）选中点（x，f（x）），选择“度量”菜单中的“坐标”命令，度量该点的坐标，如图所示；

（5）同时选中点（x，f（x））和它的坐标，按住[shift]键，选择“编辑”菜单中“合并文本到点”命令，将这个坐标动态地显示到点（x，f（x））的位置，如图3所示.

说明：拖动x轴上自变量对应的点，可以看见函数图像上对应点的坐标在不停地变化，非常形象地反映了函数的动态对应关系.

例1 利用f（x）=12x的图像，作出下列各函数的图像.

（1）f（x+1）；（2）f（x-1）；（3）f（x）+1；（5）f（x）-1.

解 先画出函数f（x）=12x的简图.

（1）把函数f（x）=12x的图像向左平移一个单位，可得到函数f（x+1）的图像；

（2）把函数f（x）=12x的图像向右平移一个单位，可得到函数f（x-1）的图像；

（3）把函数f（x）=12x的图像向上平移一个单位，可得到函数f（x）+1的图像；

（4）把函数f（x）=12x的图像向左平移一个单位，可得到函数f（x）-1的图像；如图4.

二、利用几何画板探究指数函数f（x）=ax（a>0，a≠1）的性质.

1.在同一平面直角坐标系中作出指数函数f（x）=2x和g（x）=13x的图像，如图5.

三、结束语

指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数，所以在这部分的教学安排上，我更注意学生思维习惯的养成.通过研究几个特殊的底数的指数函数得到一般指数函数的规律，这符合学生由特殊到一般的，由具体到抽象的学习认知规律.

另外，通过多媒体教学手段，用计算机作出底数a变换的图像，让学生更直观、深刻的感受指数函数的图像及性质.学生真思考，学生的真探究，才是保障教学目标得以实现的前提，在教学中，教师通过教学设计要以给学生充分的思维空间、推理运算空间和交流学习空间，努力创设一个“活动化的课堂”才可能真正唤起学生的生命主体意识，引领他们走上自主构建知识意义的发展路径.

总之，用几何画板来研究函数，它所产生的作用是巨大的，他不但可以模拟知识发生的过程，更能让学生自己探索出公式和定理，让学生体验了当数学家、发明家的滋味，这也真正实现了从“学数学”到“做数学”，再到“玩数学”，更能激发学生学习数学的兴趣，使数学课堂成为充满探索性、趣味性和挑战性的精彩世界.

特别注释

河南省教育科学“十二五”规划2015年度立项课题.

课题名称：高中数学新课程中信息技术应用专栏的分析与研究

课题类别：一般课题

课题编号：[2015]-JKGHYB-0302

【参考文献】

[1]罗永健.利用几何画板研究函数的性质例谈[J].基础教育论坛，2011（6）.

[2]徐东.用“几何画板”探究实验一次函数图像与性质[J]，数学学习与研究，2014（17）.