教学反思：阶的估计方法在极限问题中的应用

周黎

摘 要：无穷量包括无穷大量和无穷小量是高等数学中非常经典的一个概念，无穷量阶的估计经常用于各种极限问题的处理和证明上，通过无穷量阶的应用可以在很大程度上简化问题的计算，使得计算的结果更加的准确，证明的过程更加的严谨。因而在高等数学中得到了极为广泛的应用，本文以几个典型的例题为例对阶的估计方法在处理极限问题中的应用进行了介绍，对于阶的估计方法在极限问题中的典型的应用进行了阐述，为该方法在极限问题中的应用进行总结提出了新的思路。

关键词：阶估计；极限；级数；收敛

一、阶估计的得到

在泰勒公式的推论中可以利用相关的结论得到较为常见的阶估计，泰勒公式的推论的定理如下，假设在属于的某个邻域中，是存在的，并且存在如下的关系：

那么就存在如下的关系：

上述公式在的邻域中是成立的，那么这就是泰勒公式的推论。该台了公式的推论可以被用来得到几个较为常用的阶估计，比如如果当满足条件当x的数值趋近于的时候那函数的数值也趋近于0，那么就存在如下的关系：

那么就存在下面的阶估计，比如函数的正弦函数可以写成如下的形式：

相应的的正切函数可以在相应的邻域范围以内可以展开成为如下的形式：

函数的余弦函数可以在相应的邻域的范围之内可以展开为如下的形式：

那么对应的常用对数函数可以在起相应的邻域范围之内站开如下的形式：

该函数的指数函数可以写成如下的形式：

相对应的该函数的指数函数在其对应的定义域内部可以站开成如下的形式：

这些对应的阶估计在极限问题的处理过程中具有非常典型的应用，首先这些阶估计可以用于极限的求取。

二、利用阶估计求取极限

假设例题形式如下，求取下面公式的极限：

进而就可以利用阶估计来处理该极限问题，由于当x的值趋近于0的时候的数值与sinx的函数的数值是相等的，因而将x看作为是f（x）的话可以得出如下的关系：

而例题中的指数部分的数值当x的数值趋近于0的时候可以利用泰勒公式进行处理如下：

因而原公式：

可以写为变形为如下的形式：

当x的数值趋近于0 的时候数值x的二阶无穷小肯定为0因而上述极限的数值就变为了，即该极限问题就迎刃而解，可以看到在上述公式当中曾经多次用到了无穷小量的性质以及相对应的替换，推算的过程中不仅较为简单便捷而且过程较为严谨，如在上述公式推导的过程中巧妙的利用了公式将等式右边的形式变为等式左边的形式，并且还巧妙的利用的形式将等式左边的形式转化为等式右边的形式，然后进行化简就得到最终较为简化的形式，可以看到在这求极限的过程中多次用到了无穷小量阶的估计，较为巧妙的利用了泰勒公式可以在x趋近于某个值得范围内展开成为泰勒级数以及无穷小量和的性质。简化了证明的过程，并且也使得证明计算的过程更加方便和准确提高了结题的效率。

三、判断级数是否收敛

无穷小量的阶的估计方法不仅可以用于求解极限问题而且还被广泛的应用于判断级数是否收敛等问题的证明上，如以下面的问题为例来看一下对应的无穷小量阶的估计如何用于判断级数是否收敛，假设有下面的问题：

判断该级数是否会收敛？当我们看到这个问题的时候首先考虑将积分号内部的形式进行变化，如可以将利用泰勒级数的性质进行展开，该级数的含义也就是随着数值n的不断增大来判断该级数是否为收敛，那么可以将其展开为如下的形式：

因而可以利用来判断前者是否收敛，由于前者小于后者，而随着数值n的不断增大后者是收敛的，因而前者更应该是收敛的，因此利用比较判别的方法就可以确定该级数是收敛的，在这个例题中利用泰勒公式可以在x属于一定的范围内将其进行展开，由于知道x的取值范围在0-1＼N之间因而随着n的数值的增大，该数值是不断趋于0的，所以x的数值不断趋于0的，因而可以在该范围内对函数利用泰勒级数进行展开，展开成为如上述公式所示的形式，由于括号内部的第一部分取定积分之后的数值显然为0，进而只剩下最后一部分也就是x的二分之五次方的高阶无穷小，因而就到了最终化简的形式。

如果，，如果存在，那么就会存在如下的关系：

试着利用阶的估计的性质来证明该关系？首先由于关系的存在，那么存在任意的一个数值大于0，对于任意的大于0的正数N来讲，一定存在下面的关系：

，那么对于任意的M>N来讲存在下面的关系，随着数值数值的不断增大，一直增大到无穷，对于给定的上述参数一定存在如下的关系M的数值大于N的数值，存在如下的关系：

进而就可以得到如下的关系：

进而可以得到下面的关系：

再来看下面的一个例子用于级数收敛的证明，假设存在，当，那么久存在下面的关系：

在该等式的证明过程中可以先假定等式右边的极限是存在的，并且假设右边的极限值为a也就是：

那么就存在如下的关系：

由于，并且，因而通过定理可以得到如下的关系：

由此就可以得到：

对上面的等式两边同时除以那么就得到了如下的等式：

因而当n的数值趋近于无穷大的情况下，如果存在a的数值为正无穷的话那么就存在，进而当进而先前的结论得到证明。

四、实例应用

在从以下几个例子来说明阶的估计的方法在极限问题处理过程中的应用，首先来看第一个例题，当的时候，当和二者的数值满足什么样的条件下，才会使得下面的公式为二阶的无穷小，并且在此基础上思考y的最高阶可以为多少？

通过上述的问题我们可以看出随着当x的数值趋近于0的时候，上述公式中的很多个关于x的函数是可以进行替换的，利用泰勒公式将其在x趋近于0的范围内部将cosx和sinx进行展开，展开为无穷小和的形式。如下所示：

即当x的数值趋近于0的时候，上述三个公式左边的形式可以利用右边的形式来进行表示，然后将公式中的三个量用上述三个公式中的左边的形式用右边的形式进行代替然后对其进行相应的化简就可以得到如下所示的最终的结果：

我们可以从上面的公式非常容易的看出，当的数值为-1的时候上述公式为x二次方的高阶无穷小，当的数值为-1，的数值为3的时候，上述代数式为x四次方的高阶无穷小。

再来看下面的一个关于极限计算的问题，当n趋近于无穷大的时候下面公式的极限值

当n趋近于无穷大的还好可以利用高阶无穷小的方式对上述代数式中的某些数值进行替换，比如，然后对K的数值进行求和的话可以知道对于K的倒数从1到数值n进行求和与对1和K倒数和的常用对数函数的求和的最终的结果是一样的，因而对于K的倒数进行求和的最终结果可以写成如下的形式，也就是n的常用对数与1和n的倒数和的常用对数以及数值K的平方的倒数的高阶无穷小的和以及K的平方的倒数和的高阶无穷小。由于在可以非常明显的看出K的平方倒数高阶无穷小的和在K趋近于正的无穷的过程中是收敛的。并且K平方倒数对于x的定积分x的范围为h-1到h的话要小于x的平方倒数的积分制，那么在上述的情况下就会出现K的平方的倒数的和要小于数值n的倒数，所以K的倒数的和酒可以写成为n的常用对数值与常数c的和在加上n的倒数的高阶的无穷小。那么最初的题目中要求的求n+1的倒数值一直到2n的倒数的和就可以最终化为数值2的常用对数值加数值n的倒数的高阶无情小，很显然当n数值趋近于无穷大的时候该上述题目所求的极限值就为2的常用对数。

再来看下面的例题假设函数，那么试着证明下面的关系，从所要证明的关系来看，几分的数值主要集中在当x=0的时候，假设存在，那么上述公式左边的部分就可以进行相应的变换，最终可以写为两个关于数值h的函数。其中一部分可以写为关于f（0）的一个代数式，然后利用高阶无穷小的替换可以最终谢伟数值与数值h的次方的高阶无穷小，相应的最终该公式可以简化为数值与f（0）的乘积然后在加上上述h的次方的高阶无穷小，然后再加上1的高阶无穷小，并且数值的范围为大于0小于1，那么上述公式就可以最终演化为数值与f（0）的乘积。

五、结语

通过上面的例题可以看出阶的估计方法在处理和极限有关的问题过程中得到了非常广泛的应用，利用阶的估计方法替换极限问题中的某些量，或者是在允许的范围内将某个函数进行展开，通过替换大大的简化了问题的分析过程，通过对阶的估计方法应用的总结，为该方法的理解与应用以及与之相关教学方法的改进具有十分重要的实践意义。

参考文献：

[1]张沛华.求解无穷多项和极限问题的三个方法[J].课程教育研究，2013（35） .

[2]帕孜兰，陈晓强，李德连.求解极限问题的一种验证方法——Mathematica软件[J].新疆职业大学学报，2007（03） .

[3]戴宏图.谈一个极限问题[J].曲阜师院学报（自然科学版），1979（03） .

（作者单位：达州职业技术学院）