学习进阶在数学教学中的应用

王静 胡典顺

摘 要 研究学习进阶的内涵、特点、组成要素以及研究步骤有利于更好地理解学习进阶。以数学概念“统计量”为例，在学习、理解、领会学习进阶的理论基础上，通过研究数学教材、数学课程标准，进而提出数学中平均数、中位数、众数这三个统计量学习进阶的预期进阶水平以及达成预期学习进阶水平的路径。研究学习进阶在数学教学中的应用，对于课堂教学的指导、完善课程标准及教材的编订，以及学生学业成就的评价都有积极的作用。

关键词 数学学习进阶 内涵 特点 要素 应用

一、学习进阶概述

1.学习进阶的内涵

2011年7月，美国国家研究委员会（NRC）发布《K-12年级科学教育框架：实践、跨科学概念和核心概念》，这个文件的发布标志着美国新一轮的教育改革开始了，此次改革明确提出按照学习进阶（Learning Progression）的理念来促进学生掌握核心概念。美国希望通过研究学习进阶来改变以往“广而不深”的课程体系，打破课程、教学与评价不一致的局面，因此，学习进阶成为近年来美国科学教育领域的研究热点。目前，教育科学界对学习进阶的定义还没有统一的界定。史密斯等认为“学习进阶是学生在学习时对一系列概念连续的、逐渐复杂的思维方式”；罗曼斯等认为“学习进阶是从小学延续到高中的一条符合逻辑和学生发展的概念序列”；赛琳娜界定学习进阶为“以实证为基础的、可检验的假说，它阐释了在一段时间内经过适当的教学指导，学生对科学核心概念、科学解释以及科学实践的理解和运用是如何逐渐发展、逐渐深入”[1]。NRC将学习进阶定义为“对学生在一个较大时间跨度内学习和研究某一主题时，所遵循的连贯的、逐渐深入的思维路径的假定性描述”[2]。综上，学习进阶是学习者在学习某一主题的过程中，从尚未接受教学，到开始学习，最后至完成此学习阶段，学习者对于主题内概念的想法与理解程度，逐渐精致化并趋于成熟的发展过程，是在一段时间内，学生对于某一核心概念的学习进展情况和进步发展历程。

2.学习进阶的特点

（1）围绕核心概念展开

核心概念是各个学科中能够把基本知识框架搭建起来的起关键性作用的概念，数学中的核心概念能将不同数学概念的理解结合成为一个有条理的整体，是对于学习数学而言极为重要的概念。数学学科中的核心概念可以是课程标准中提出的数感、符号感、符号意识、空间观念、创新意识、模型思想等比较抽象的概念，也可以是因数、倍数、方程、图形变换、向量、统计量等比较具体的知识点。学习进阶正是围绕这些核心概念来研究学生知识习得的由浅入深、由易到难的过程。

（2）研究过程具有实证性

学习进阶是通过研究教材、课程标准、文献等资料提出的，开发一个学习进阶的目的是判断学生的知识水平属于学习进阶的哪个阶层、验证学生的表现是否与学习进阶的描述一致以及预测学生的知识发展路径等。要达到这些目的必须对学生评量施测进行实证研究以获得学生的学业表现。

（3）进阶途径具有多样性

某一核心知识的学习进阶只能代表典型发展路径，只能代表大多数学生的知识发展水平，而由于学生的基础水平、教育背景、认知发展规律等都存在个体差异，同一个学习进阶不一定符合每一个学生。对于学习进阶中的某一个水平，不同的学生所达到的时间和所掌握的程度不一定相同，因此，学习进阶的途径具有多样性。

（4）学习进阶的假设性

学习进阶的开发是通过系统分析当前大量的理论与实证研究得到的假设性发展路径描述，通过实证研究验证之后需要不断地修改与完善。

（5）学习进阶的层级性

学习进阶中的每一个阶段都是前一个阶段所要达到的目标，同时也是后一个阶段的认知基础，各个阶段的学习是循序渐进的，每个阶段代表一种新的认知发展水平。学生获得核心知识的过程则是从学习进阶的最低阶层逐渐发展到最高阶层的过程。

3.学习进阶的组成要素

学习进阶大致包括进阶起点和终点、进阶水平、学业表现、进阶维度、测评工具这五个核心要素。

（1）进阶起点和终点

进阶起点是学生开始学习某个核心概念所具有的水平，进阶终点是学生学习某一特定核心概念时所能达到的最高水平。

（2）进阶水平

进阶水平是指学习进阶的各个阶层所要达到的目标，是学习进阶所描述的发展路径上的各个步骤，它反映学生在掌握核心概念时的阶段性与顺序性，各个进阶水平是相互关联的。

（3）学业表现

学业表现描述学生处于某个特定进阶水平时的具体表现。参照各个进阶水平的学业表现，研究者可以判断学生处于学习进阶的哪一个发展水平。

（4）进阶维度

进阶维度是指学生学习了多个核心概念时，通过追踪这些核心概念的发展路径可以了解学生的整体学习情况。只有当学生逐渐掌握越来越多的核心概念，研究者分析学生的各个进阶维度时才能了解学生掌握整个学科基本知识框架的程度。

（5）测评工具

测评工具是根据学习进阶编制的评量试题，通过学生的答题表现来检测学生所处的发展阶段，评量试题应该随着学习进阶的修改而进一步完善。一个学习进阶最好开发多套评量试题。

4.学习进阶的研究步骤

建构新的学习进阶应先确定进阶要围绕的核心概念，提出有效的进阶假设；然后根据假设选择测量模型，开发测量工具收集证据；最终才能基于证据修订假设，逐步完善进阶。研究者在开发学习进阶时，各有其不同的研究方法，主要包括文献研究法、设计研究法、访谈法、问卷法等。从这些不同的研究方法中，可归纳出某些具有顺序性的步骤（见表1）。

按照学习进阶研究的步骤，在选好核心概念之后，应该仔细研读学科课程标准以及教材，并且大量查阅相关核心概念的研究文献，在此基础上初步提出核心概念学习进阶的预期水平。提出预期的进阶水平之后，通过实证调查逐步完善学习概念也是一个非常重要的过程。

二、学习进阶的应用举例——以数学概念“统计量”为例

基于学习进阶的理论研究，在分析教材、课程标准和以往对统计量研究的文献的基础上，划分数学概念掌握的预期水平。以“统计量”这个核心概念为例，探讨统计量的学习进阶预期水平（本文只涉及平均数、中位数和众数这三个统计量）。

1.课程标准对这三个统计量的要求

参考《义务教育数学课程标准（2011年）》和《普通高中数学新课程标准（实验）》，将课程标准中对平均数、中位数和众数知识的要求整理成表2。

数学课程标准对这三个统计量知识的要求的明显变化是，在第一学段中取消了原来对平均数的要求，把该内容移到了第二学段；第二学段中位数、众数内容也往后移。同时，从表2中可以看出随着学习年级的升高，对平均数、中位数和众数的要求也越来越高。课程标准对知识要求的衔接性与学习进阶连贯、逐渐深入的思维路径的描述一致，课程标准的制定考虑学生身心发展规律与认知发展规律也同样给学习进阶的开发带来启发意义。

2.教材中这三个统计量的知识分布

为了明确义务教育阶段和高中阶段数学教材中统计量知识的分布，本文选取北师大版最新教材作为研究的参考教材。根据教材内容的安排，并结合平均数、中位数、众数这三个统计量的相关知识点对其作整理（如表3）。

从表3中可以看出，教材中统计量内容的组织与安排遵循数学课程标准中循序渐进的精神。平均数、中位数和众数的内容在小学、初中和高中教材中都有安排，并且是按照循序渐进、由浅入深的原则安排在各个学段，对知识掌握目标的要求也是随着年级的升高而逐渐提高。教材安排的这种规律与学习进阶连贯逐渐深入的特性是一致的。因此，仔细研读教材对构建统计量的学习进阶有很大的参考价值。

3.查阅统计量相关研究

对国内统计量相关的研究文献进行回顾与总结，了解研究者过去关于学生统计量学习表现的研究发现。有研究者经过调查研究得出以下结论：学生对统计量中的计算问题处理得比较好；对平均数、中位数、众数等统计量的综合运用有困难；不会从统计思想方法的角度思考问题，解决实际问题；对平均数、中位数、众数三个统计量意义的区别和联系不是很清楚；从初步理解统计量术语到使用统计语言和概念去理解实际问题仍然存在很大困难，即使是面对简单的实际问题，学生对统计量的理解也处于较低水平[3]。学生在课堂上注重理解统计的事实性知识或程序性知识，较少参与到统计概念性知识的活动中。学生如果忽略概念的重要性，可能就无法真正掌握相关知识的本质，企图改变这种现状也是研究学习进阶的意义所在。

学生统计量学习过程中出现的种种问题，可能是学生在学习进阶发展路径中暂时无法到达下一阶层的阻碍因素。因此，前人的这些统计量相关研究成果也是我们构建学习进阶的参考内容。

4.统计量假设性学习进阶的建构

结合课程标准和教材对平均数、中位数、众数知识的目标要求以及学生在统计量内容中的学业表现情形的阐述，基于学习进阶的理论研究，可以提出6个统计量学习进阶的进阶水平，并列出每一水平中学生的预期学业表现。

学生对平均数、中位数、众数这三个统计量的认知大致按这种预期水平前后连贯、逐渐复杂和精致地发展，对后一水平的理解是在前一水平基础之上的，不同水平具有本质上的差异，体现出相应年龄阶段学生对该知识理解的普遍特征和规律。

5.统计量学习进阶的精确建构

关于统计量学习进阶的精确建构还需要通过很多深入的实证探讨才能加以完善，要进行访谈调查以及大量的评量施测，把学生的预期表现与实际表现进行比较，进一步修改初步建立的假设性学习进阶。学习进阶的建构正是这样一个假设与验证、理论与实践不断交替、逐步完善的过程。

三、学习进阶在数学教学中应用的思考

学习进阶在西方科学教育领域已成为一个研究热点，并且在物理、化学、生物等学科中已取得一些成就，而关于数学学习进阶的研究起点稍晚。数学学习进阶的研究、应用与实践也应该得到重视，我们应该认识到学习进阶在数学教学中的应用价值。

1.学习进阶对于课堂教学具有指导作用

教师可以围绕核心概念展开教学，建构核心概念的学习进阶能为学生提供掌握核心概念的学习路径，通过掌握进阶维度所涉及的更广阔的核心概念逐步理解数学学科的基本知识框架。学习进阶中的进阶水平及相应的学生学业表现清晰地描述了学生知识发展的一般性路径，能使教师通过学习进阶预测学生的前进方向，判断学生目前所处的具体位置，以便为学生学习知识建立切实可行的行动指南。学习进阶中的水平层次往往代表学生在理解概念时容易出现错误理解的地方，教师可以根据学习进阶来关注学生的学习难点，以便选择合适的教学方法帮助学生更顺利地到达更高的概念理解水平。例如，当给出三组数据：A：9、7、6、9、9、10、8、8、7、10；B：6、10、9、8、9、10、6、8、10、10；C：10、7、9、10、7、8、10、9、10、10，告诉学生三组数据的“平均水平”都是9，让学生判断三组数据分别运用了平均数、中位数、众数中的哪一种“平均水平”，如果学生判断出错，说明还没到达统计量学习进阶中的水平3，这时教师应该采取适当的教学策略帮助学生顺利到达水平3。

2.学习进阶有助于完善课程标准及教材的编订

数学课程标准需要不断改革以符合学生的认知发展规律，而现有的数学教育研究在支撑数学课程标准改革的某些方面还有待改善。美国提出研究学习进阶的目的也正是为了改变以往“广而不深”的课程体系而制定新的课程标准。我国的基础教育没有将课程作为一个整体设计，没有统一的课程标准，而是分为义务教育阶段和高中阶段。我国不同学习阶段的学科课程也是分别设计的，小学和初中之间、初中和高中之间缺乏内在的逻辑联系，导致教学实践中出现大量脱节现象[4]。在我国，可以看到许多初中数学学得好的学生在上高中之后，数学成绩下降很多，这与教材知识缺乏连贯性有关。学习进阶理论的研究基于大量的实证探讨，能代表学生真实的学业水平表现，对出现在不同年级的同一个核心概念进行整合使进阶水平更具有连贯性，对于课程标准的改革及教材的重新修订具有指导意义。

3.学习进阶有利于改善学生学业成就的评价

我国对于学生数学学业成就的评价方式基本是通过考试，很难了解到学生学习的过程，即评价方式是终结性评价而不是形成性评价。这样只能判断学生达到学习目标与否，很难对学生的思维过程进行评价。通过比较学生的学习表现与学习进阶中的进阶水平，可以很清楚地了解学生处在起点与最终要到达的目标之间的哪个位置，追踪学生的核心概念发展水平，则可以评价学生的学习过程，实现形成性评价。

参考文献

[1] 姚建欣，郭玉英.为学生认知发展建模：学习进阶十年研究回顾及展望[J].教育学报，2014 （5）.

[2] National Research Council.Taking Scienceto School：Learning and Teaching Sciencein GradesK-8[M].Washington：the National Academics Press，2006.

[3] 曲元海，项昭，李俊扬，等.初中生学习统计量理解水平的调查分析[J].数学教育学报，2006 （1）.

[4] 郭玉英，姚建欣，张静.整合与发展——科学课程中概念体系的建构及其学习进阶[J].课程·教材·教法，2013（2）.

[作者：王静（1991-），女，江西宜春人，华中师范大学数学与统计学学院在读硕士研究生；胡典顺（1965-），男，湖北孝感人，华中师范大学数学与统计学学院教授，博士。]

【责任编辑 郭振玲】