我和学生有个“约定”

郑思思

【摘要】 特殊值解决含参数函数是奇（偶）函数问题是学生在学习了函数的奇偶性后必然会碰到的一类题目，而此类题目也是高考中经常出现的题型.学生在解题中却经常会出现利用不等价的转换来进行解题这样的错误.

【关键词】 奇（偶）函数；教学；严密性

例如用f（0）=0来代替函数是一个奇函数等.对于这样的错误，作为教师的我们除了发出“讲了n遍了，还是错错错”这样的抱怨外，是不是也该反省自己的教学，与学生统一战线，一起找寻问题的解决方案？答案是肯定的.本文就是我与学生在碰到问题后，产生争议，通过列举反例达成共识，最后寻找解决方法中展开的，从中也给了我自己很好的教学启示.

解法一便捷而不严密的特点在这两个例题中暴露了出来.给学生强调了解题严密性，让学生选择解法二.对问题中的运算关键进行了点拨之后，我在第二天作业中放入了同类问题.经过这样两个反例的分析，两个班共94人中做错的仅3人（得到正确答案并过程严谨）.当我以为这个问题就这么被解决了的时候，却在接下来的作业中发现，选择解法一的人数多起来了，同学还是逐渐选择了便利而欠缺严密性的解法.而且与此同时，在与其他老师关于这个问题的讨论过程中也讲到，其实很多题目甚至是大部分此类问题用f（0）=0来计算都是对的，那还有没有必要完全摒弃解法一呢？

针对这一问题，我首先找了两个班中选择解法一的同学进行了个别访谈，摘录如下：

师：有关这类题目，我们之前举过两个反例，你还有印象吗？（将题目展示）

生1：哦，记得.

师：那你的作业中为何还是选择了解法一呢？

生1：因为解法2太烦了，而且大部分题目好像用解法一算出来的都是对的.

师：那你认为“f（0）=0”和函数为奇函数是等价的吗？

生1：好像不等价.

师：那既然不等价，为什么还用解法一呢？

生1：因为解法一计算简单啊，而且几乎85 % 的此类问题（不知道她怎么归纳出这个85 % 的）都可以这样解决.

师：有关这类题目，我们之前举过两个反例，你还有印象吗？（将题目展示）

生2：哦，记得，老师你讲好之后我还重新去整理了.

师：那你的作业中为何还是选择了解法一呢？

生2：您上次举的两个反例，我研究过了，其实反例1和反例2之所以用f（0）=0来算时没有计算出正确答案是因为本身这个奇函数在x=0处没有定义，但是作业中的那题我可以判断出在x=0的地方一定是有定义的.

师：那你认为“f（0）=0”和函数为奇函数是等价的吗？

生2：好像不等价.

师：那既然不等价，为什么还用解法一呢？

生2：作业中的那题我可以判断出在x=0的地方一定是有定义的，所以f（0）一定等于0.

其他学生在访谈过程中的回答与上述两名同学类似，不一一列举.

结合学生所讲以及与备课组老师的讨论，我又重新开始思考.先回到之前所举的两个反例中，细审解法一出错的原因，反例1中只算出了a=1主要原因是当a=-1时函数在x=0处无定义，所以无法计算出这个答案；反例2中没有算出正确答案a=-1，究其原因也是当a=-1时，函数在x=0处没有定义造成的（刚才那名同学的说法还有有点道理的）.但是如果再来反观反例2的解法一，其实我们会发现用f（0）=0算出的值，此时函数在x=0处也有定义，但是还是不能满足函数为奇函数的条件，而这个也正好应证了“f（0）=0”与“f（x）是奇函数”的不等价性，并且这个不等价性的说明已排除了“函数在x=0处没有定义”这种特殊情况.

在做好了这一些准备后，我又重新拿着这些题目给学生们讲了以上这些我的思考.最后提出了一个问题：那么在以后大家碰到这类问题时，会以什么样的方式去进行解题呢？在师生共同的努力下，达成了一个约定，解决这类问题的一个约定.约定具体内容如下：

（1）拿到这类问题先判断函数在x=0处是否有定义；若有，参看第2条，若无或不确定参看第3条；

（2）利用f（0）=0来算，但所得结果需要检验；

（3）利用f（-x）=-f（x）来进行计算，一般无须检验.

学生们都很开心，解数学题还可以按照约定来，挺新鲜.可是却马上又发现这个约定是有漏洞的.题目如下：

f（x）=log 1 2 1-ax x-1 是R上的奇函数，求a，b的值.

学生的解法大致如下：

解法一 考虑到函数在x=0时有定义，所以f（0）=0，可以先解得a=1，然后再利用f（-x）=-f（x）（比解法2中的运算量少）或f -1 =-f 1 （或者其他特殊值来算，运算量较小），然后进行检验，可得出最后答案a=1，b=e.

解法二 直接利用f（-x）=-f（x）即f（-x）+f（x）=0来算.将式子化简后可得a=±1，而检验后可发现正确答案只有a=-1；因为当a=1时，f（x）=log 1 2 1-x x-1 ，对任意的x∈ R 均是没有意义的.

题目做完讲解后，学生就闹开了花，吵着争着“老师，你看我们定的约定不对了！怎么办？”

怎么办？改呗！于是师生共同又将约定改为了如下版本：

（1）拿到这类问题先判断函数在x=0处是否有定义；若有，参看第2条，若无或不确定参看第3条；

（2）利用f（0）=0来算，但所得结果需要检验；

（3）利用f（-x）=-f（x）来进行计算，也需要检验，尤其是出现两解时.

而在之后的解题中，大家又发现了一道此类问题，但又与众不同：已知函数f（x）= a-ex b+ex+1 是 R 上的奇函数，求a，b的值.

此题的与众不同在于题中有两个参数a，b，若只用f（0）=0来计算只能算出一个值即a=1，若要继续求b的值则需要再取一个特定值如f -1 =-f 1 （结果是需要检验的），或者将a=1代入f（-x）=-f（x）来进行计算.当然也有学生选择的方法是直接用f（-x）=-f（x）来计算，但是后面的运算量很大，导致很多学生放弃此题；而一小部分坚持对式子化简并得到结果a=1，b=e或a=-1，b=-e的同学有鲜少有人检验出a=-1，b=-e这组答案是错误的，因为此时函数的定义域不是 R .

针对这样的情况，我们再次调整了约定内容：

（1）拿到这类问题先判断函数在x=0处是否有定义；若有，参看第2条和第3条，若无或不确定参看第5条；

（2）若函数解析式中只含一个参数，则参看第3条；若函数解析式中含有两个参数，则参看第4条；

（3）利用f（0）=0来算，但所得结果需要检验；

（4）借助f（0）=0和另一个特定值如f -1 =-f 1 结合求解，所得结果需检验；或者借助f（0）=0和f（-x）=-f（x）来求解；

（5）利用f（-x）=-f（x）来进行计算，也需要检验，尤其是出现两解时.

后 记

这类问题无论是对高中数学教师还是对学生来讲，都不陌生.学生在做题时一定会碰到此类问题，而教师就更不用说了.但是我在之前的教学中，虽然也了解学生解决此类问题时会出现的问题和错误，但都没有认真地去对待，而是把学生的错误当作一种理所当然，并没有去关注这问题和错误的背后所隐藏的原因.所以错了讲，讲了再错，错了再讲，……如此恶性循环，不光没有解决问题，还加重了学生的负担，着实不是种好的教学方法.我想我们的教育应该要更贴近学生，采取学生愿意的也能接受的方式来开展教学，减轻学生负担的同时也把问题搞明白了，一举两得不是更好吗？与此同时，教师也应在平时教学中关注学生运算化简能力的培养和提高.

通过大半个学期与此类问题的战斗，也对如何教学这类问题以及其他问题有了一个自己的认识，与大家分享，不当之处请指正.